Какова мера одного из углов треугольника ABC, если известны длины его сторон AB=5, BC=4√2 и AC=7?

Alekseevich

51

Для решения этой задачи нам потребуется использовать теорему косинусов, которая устанавливает связь между длинами сторон треугольника и мерой одного из его углов.

Теорема косинусов гласит, что для любого треугольника с сторонами \(a\), \(b\), и \(c\), и противолежащими этим сторонам углами \(A\), \(B\), и \(C\) соответственно, справедлива следующая формула:

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(A)\]

Теперь применим эту формулу к нашему треугольнику ABC. У нас уже известны стороны \(AB = 5\), \(BC = 4\sqrt{2}\), и \(AC = 7\). Пусть \(x\) - мера угла, противолежащего стороне \(AB\).

Применим теорему косинусов к стороне \(AB\):

\[5^2 = (4\sqrt{2})^2 + 7^2 - 2 \cdot (4\sqrt{2}) \cdot 7 \cdot \cos(x)\]

Упростим выражение:

\[25 = 32 + 49 - 56\sqrt{2}\cos(x)\]

Тогда:

\[56\sqrt{2}\cos(x) = 32 + 49 - 25\]
\[56\sqrt{2}\cos(x) = 56\]
\[\cos(x) = \frac{56}{56\sqrt{2}}\]
\[\cos(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}\]
\[\cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Зная значение \(\cos(x)\), мы можем найти меру угла \(x\). Это делается с помощью обратной функции косинуса, \(\arccos\):

\[x = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\]

Осталось только вычислить значение этого угла:

\[x \approx 45^\circ\]

Таким образом, мера одного из углов треугольника ABC, противолежащего стороне AB, составляет около 45 градусов.