Какова мера угла AMB в треугольнике ABC, где стороны BC и AC равны, угол С равен 108°, и биссектрисы углов А

David_7036

25

Решение:
Чтобы найти меру угла AMB, мы должны рассмотреть биссектрисы углов A и B в треугольнике ABC.
Поскольку биссектрисы углов А и В пересекаются в точке М, мы можем использовать свойство биссектрисы, которое гласит, что биссектриса угла делит противоположную сторону на две части, пропорциональные длинам других двух сторон.
Пусть AB = BC = a, а AM = MB = b. Тогда AC = c.
Из свойства биссектрисы, получаем: \(\frac{AC}{AM} = \frac{BC}{BM}\).
Подставив известные значения, получаем: \(\frac{c}{b} = \frac{a}{b}\).
Разделим обе части уравнения на b: \(\frac{c}{b}\) = \(\frac{a}{b}\) = 1.
Таким образом, получаем, что AC = AM = MB = c.
Теперь мы знаем, что треугольник AMC является равнобедренным, так как две его стороны равны.
Также из равнобедренности треугольника AMC следует, что мера угла MCA равна мере угла MAC.
Поскольку угол С равен 108°, разделим его пополам, чтобы найти меру угла MCA: 108° ÷ 2 = 54°.
Таким образом, мера угла MCA равна 54°.
Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то мера угла ACM также равна 54°.
Теперь мы можем найти меру угла AMB, используя свойство линейности углов.
Сумма мер углов MCA, ACM и AMB равняется 180° (сумма углов в треугольнике).
Подставим известные значения: 54° + 54° + мера угла AMB = 180°.
Сократим: 108° + мера угла AMB = 180°.
Вычтем 108° с обеих сторон уравнения: мера угла AMB = 180° - 108°.
Упростим: мера угла AMB = 72°.
Таким образом, мера угла AMB в треугольнике ABC равна 72°.