Какова мера угла AOS, если внешний угол при вершине B треугольника АВС равен 104 градусам и биссектрисы углов

Барон

26

Для решения данной задачи мы можем использовать следующие свойства треугольника и углов:

1. Внешний угол при вершине треугольника равен сумме двух внутренних углов, не инцидентных этой вершине. Это означает, что внешний угол при вершине B равен сумме углов A и угла С, то есть \( \angle ABC = \angle A + \angle C \).

2. Биссектриса угла делит его на две равные части. Таким образом, биссектриса угла А делит угол A на два равных угла, то есть \( \angle AOB = \angle AOC \).

Теперь мы можем перейти к решению задачи:

Известно, что внешний угол при вершине B равен 104 градусам. Следовательно, составляем уравнение:
\[ \angle ABC = \angle A + \angle C = 104° \]

Также известно, что биссектрисы углов А и треугольника пересекаются в точке О. Поэтому у нас есть равенство углов:
\[ \angle AOB = \angle AOC \]

Теперь мы можем записать уравнение для углов А, О и С при помощи равенства биссектрис:
\[ \angle AOB + \angle BOC + \angle AOC + \angle BOA = 360° \]

Замечаем, что угол BOA — это внешний угол при вершине треугольника AOB, который равен 104°:
\[ 104° + \angle BOC + \angle AOC + \angle BOA = 360° \]

Так как уголы AOB и AOC равны (по свойству биссектрис), то можно заменить их на 1 переменную, например, \( x \):
\[ 104° + x + x + \angle BOA = 360° \]

Суммируем углы A, O и S:
\[ 104° + 2x + \angle BOA = 360° \]

Переносим 104° и \(\angle BOA\) на другую сторону:
\[ 2x = 360° - 104° - \angle BOA \]

Замечаем, что угол BOA равен 180° - углу AOS:
\[ 2x = 360° - 104° - (180° - \angle AOS) \]

Упрощаем уравнение:
\[ 2x = 76° + \angle AOS \]

Деля всю формулу на 2, получаем окончательный ответ:
\[ x = \frac{{76° + \angle AOS}}{2} \]

Мы можем выразить угол AOS, заменив x на полученное выражение:
\[ \angle AOS = 2x - 76° \]

Таким образом, математическим выражением меры угла AOS будет:
\[ \angle AOS = 2 \left( \frac{{76° + \angle AOS}}{2} \right) - 76° \]

Упрощая формулу, получаем окончательный ответ:
\[ \angle AOS = 152° - \angle AOS \]

Чтобы выразить ответ в градусах, сложим угол AOS с самим собой и приравняем результат к 152°:
\[ 2 \cdot \angle AOS = 152° \]

Теперь делим обе стороны уравнения на 2 и находим значение угла AOS:
\[ \angle AOS = \frac{152°}{2} = 76° \]

Таким образом, мера угла AOS равна 76 градусов.