Какова мера угла B в треугольнике ABC, если известно, что угол A равен 135°, а длины сторон AC и BC равны

Manya

33

Чтобы найти меру угла B в треугольнике ABC, нам необходимо воспользоваться теоремой косинусов. Дано, что угол A равен 135° и известны длины сторон AC и BC, равные соответственно 3√2 и 6. Обозначим меру угла B как x.

Теорема косинусов гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)\]

где с - длина стороны, противолежащая углу C, а a и b - длины двух других сторон.

Таким образом, в нашем случае, мы имеем:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(A)\]

Подставим известные значения:

\[(3\sqrt{2})^2 = AB^2 + 6^2 - 2 \cdot AB \cdot 6 \cdot \cos(135^\circ)\]

Упростим:

\[18 = AB^2 + 36 - 12 \cdot AB \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\]

\[18 = AB^2 + 36 + 12 \cdot AB \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]

\[18 = AB^2 + 36 + 6\sqrt{2} \cdot AB\]

Теперь нам нужно решить это уравнение относительно AB. Для этого приведем его к квадратному виду:

\[AB^2 + 6\sqrt{2} \cdot AB + 36 - 18 = 0\]

\[AB^2 + 6\sqrt{2} \cdot AB + 18 = 0\]

Применяя квадратное уравнение, получаем:

\[AB = \frac{-6\sqrt{2} \pm \sqrt{(6\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 18}}{2}\]

\[AB = -3\sqrt{2} \pm \sqrt{72 - 72}\]

\[AB = -3\sqrt{2} \pm \sqrt{0}\]

\[AB = -3\sqrt{2}\]

Очевидно, что длина стороны не может быть отрицательной, поэтому AB = -3√2 не является приемлемым ответом.

Итак, мы получили только одно допустимое значение для длины стороны AB, а именно AB = -3√2.

Теперь, чтобы найти меру угла B, обратимся к главному свойству треугольника: сумма всех углов в треугольнике равняется 180 градусам.

Таким образом:

\[\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C\]

Подставим значения:

\[\angle B = 180^\circ - 135^\circ - \angle C\]

\[\angle B = 45^\circ - \angle C\]

Мы знаем, что угол B не может быть больше 180 градусов, поэтому мы можем сделать вывод, что угол C равен 0 градусов.

Таким образом, \(\angle B = 45^\circ - 0 = 45^\circ\).

Ответ: Мера угла B в треугольнике ABC равна 45 градусам.