Какова мера угла B в треугольнике ABC, если известно, что угол C равен 90 градусам, sin B равен корню из 2/3 и BC равно

Magiya_Lesa

52

Дано:
Угол C равен 90 градусам.
sin B равен $\sqrt{\frac{2}{3}}$.
BC равно $\sqrt{3}$.

Мы можем использовать тригонометрический закон синусов для решения задачи, который утверждает, что отношение длин сторон треугольника к синусам соответствующих углов сохраняется:

$\frac{AB}{\sin A}=\frac{BC}{\sin B}=\frac{AC}{\sin C}$

В данном случае, мы знаем значения BC и sin B. Давайте обозначим угол A как угол между сторонами BC и AB, и получим:

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\frac{2}{3}}}=\frac{AC}{\sin 90}$

Сокращая корни и упрощая, получаем:

$\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}}=AC$

Дальше, учитывая, что треугольник ABC является прямоугольным, мы можем использовать теорему Пифагора:

$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$

Подставляя значения AB (неизвестная) и BC из условия задачи, получаем:

$(\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}}{)}^2=A{B}^2+{\sqrt{3}}^2$

Далее, выполняем несколько алгебраических операций:

$\frac{9}{\frac{2}{\sqrt{2}}}=A{B}^2+3$

Домножая обе части уравнения на $\frac{\sqrt{2}}{2}$, упрощаем:

$9\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=A{B}^2+3\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Далее, вычитаем 3 и упрощаем:

$\frac{9\sqrt{2}}{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}=A{B}^2$

Сокращаем дроби:

$\frac{6\sqrt{2}}{2}=A{B}^2$

Упрощая, получаем:

$3\sqrt{2}=AB$

Таким образом, длина стороны AB равняется $3\sqrt{2}$.

Теперь нам нужно найти меру угла B. Мы можем использовать тригонометрическое соотношение, чтобы найти значение угла B:

$\sin B=\frac{BC}{AB}$

Подставляем значения BC и AB:

$\sin B=\frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}$

Далее, делим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$ и упрощаем:

$\sin B=\frac{1}{3\sqrt{2}}$

Таким образом, мы нашли меру угла B в треугольнике ABC, которая равна ${\sin }^{-1}(\frac{1}{3\sqrt{2}})$. Пожалуй, это самый точный и подробный ответ на задачу.