Какова мера угла B в треугольнике ABC, если известно, что угол C равен 90 градусам, sin B равен корню из 2/3 и BC равно

Magiya_Lesa

52

Дано:
Угол C равен 90 градусам.
sin B равен \(\sqrt{\frac{2}{3}}\).
BC равно \(\sqrt{3}\).

Мы можем использовать тригонометрический закон синусов для решения задачи, который утверждает, что отношение длин сторон треугольника к синусам соответствующих углов сохраняется:

\(\frac{AB}{\sin A} = \frac{BC}{\sin B} = \frac{AC}{\sin C}\)

В данном случае, мы знаем значения BC и sin B. Давайте обозначим угол A как угол между сторонами BC и AB, и получим:

\(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\frac{2}{3}}} = \frac{AC}{\sin 90}\)

Сокращая корни и упрощая, получаем:

\(\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = AC\)

Дальше, учитывая, что треугольник ABC является прямоугольным, мы можем использовать теорему Пифагора:

\(AC^2 = AB^2 + BC^2\)

Подставляя значения AB (неизвестная) и BC из условия задачи, получаем:

\((\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}})^2 = AB^2 + \sqrt{3}^2\)

Далее, выполняем несколько алгебраических операций:

\(\frac{9}{\frac{2}{\sqrt{2}}} = AB^2 + 3\)

Домножая обе части уравнения на \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), упрощаем:

\(9 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = AB^2 + 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Далее, вычитаем 3 и упрощаем:

\(\frac{9\sqrt{2}}{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2} = AB^2\)

Сокращаем дроби:

\(\frac{6\sqrt{2}}{2} = AB^2\)

Упрощая, получаем:

\(3\sqrt{2} = AB\)

Таким образом, длина стороны AB равняется \(3\sqrt{2}\).

Теперь нам нужно найти меру угла B. Мы можем использовать тригонометрическое соотношение, чтобы найти значение угла B:

\(\sin B = \frac{BC}{AB}\)

Подставляем значения BC и AB:

\(\sin B = \frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}\)

Далее, делим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\) и упрощаем:

\(\sin B = \frac{1}{3\sqrt{2}}\)

Таким образом, мы нашли меру угла B в треугольнике ABC, которая равна \(\sin^{-1}(\frac{1}{3\sqrt{2}})\). Пожалуй, это самый точный и подробный ответ на задачу.