Какова мера угла BAC в остроугольном треугольнике ABC, если сторона BC равна 7√14, а диаметр описанной около

Viktorovich

18

Чтобы найти меру угла BAC в остроугольном треугольнике ABC, нам потребуется использовать некоторые свойства треугольников. Начнем с диаметра описанной около треугольника окружности, который равен 14√7.

Заметим, что диаметр окружности вписанной в треугольник равен длине стороны треугольника, касающейся этой окружности, умноженной на два. Таким образом, мы можем определить длину стороны треугольника, которая касается описанной окружности.

Длина стороны BC равна 7√14, значит она удваивается для диаметра описанной окружности, получаем 14√14.

Кроме того, известно, что диаметр описанной около треугольника окружности перпендикулярен стороне треугольника, касающейся этой окружности, в точке касания. Поэтому мы можем провести перпендикуляр от вершины A к стороне BC и обозначим точку касания как D.

Длина вертикали BD будет половиной длины стороны BC, значит BD = 7√14 / 2 = 7√2.

Теперь у нас появляется прямоугольный треугольник ABD, где BD - это катет, а диаметр описанной около треугольника окружности - это гипотенуза.

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике соотношение между гипотенузой и катетами определяется по теореме Пифагора: гипотенуза в квадрате равна сумме квадратов катетов.

В нашем случае, гипотенуза равна 14√7, а один катет (BD) равен 7√2. Подставим значения в формулу Пифагора:

\[AB^2 + BD^2 = AD^2\]
\[AB^2 + (7\sqrt{2})^2 = (14\sqrt{7})^2\]
\[AB^2 + 49 \cdot 2 = 196 \cdot 7\]
\[AB^2 + 98 = 1372\]
\[AB^2 = 1372 - 98\]
\[AB^2 = 1274\]
\[AB = \sqrt{1274}\]

Теперь, у нас есть длина стороны AB треугольника ABC, а также длина стороны BC (7√14) и стороны AC (7√14) есть.

Для нахождения меры угла BAC мы можем использовать косинусная теорема, которая гласит:

\[AB^2 = BC^2 + AC^2 - 2 \cdot BC \cdot AC \cdot \cos{\angle BAC}\]

Подставим значения:

\[\sqrt{1274}^2 = (7\sqrt{14})^2 + (7\sqrt{14})^2 - 2 \cdot 7\sqrt{14} \cdot 7\sqrt{14} \cdot \cos{\angle BAC}\]
\[1274 = 49\cdot14 + 49\cdot14 - 2 \cdot 98 \cdot \cos{\angle BAC}\]
\[1274 = 686 + 686 - 196 \cdot \cos{\angle BAC}\]
\[1274 = 1372 - 196 \cdot \cos{\angle BAC}\]
\[196 \cdot \cos{\angle BAC} = 1372 - 1274\]
\[196 \cdot \cos{\angle BAC} = 98\]
\[\cos{\angle BAC} = \frac{98}{196}\]
\[\cos{\angle BAC} = \frac{1}{2}\]

Теперь у нас есть значение косинуса угла BAC. Чтобы найти сам угол, мы можем использовать обратную функцию косинуса - арккосинус. Подставим значение косинуса в эту формулу:

\[\angle BAC = \arccos{\left(\frac{1}{2}\right)}\]

Значение арккосинуса для \( \frac{1}{2} \) равно \( \frac{\pi}{3} \). Ответ: мера угла BAC в остроугольном треугольнике ABC равна \( \frac{\pi}{3} \) или приблизительно 60 градусов.