Какова площадь равнобедренной трапеции, если один из ее углов составляет 150 градусов, меньшая основа равна 10

Муха

16

Чтобы решить данную задачу и найти площадь равнобедренной трапеции, нам потребуется использовать формулу для вычисления площади трапеции. Формула имеет следующий вид:

\[ S = \dfrac{(a + b) \cdot h}{2} \]

где S обозначает площадь трапеции, a и b - длины оснований трапеции, а h - высота трапеции.

В нашей задаче, одно из оснований трапеции равно 10 см, а боковая сторона равна 14 см. Первым шагом необходимо найти высоту трапеции.

Для этого построим треугольник, состоящий из боковой стороны трапеции, высоты трапеции и отрезка, соединяющего вершину основания и середину противоположного бокового ребра. Из условия задачи мы знаем, что один из углов треугольника равен 150 градусам.

Используя свойство треугольника, которое гласит, что сумма углов треугольника равна 180 градусов, мы можем найти величину второго угла треугольника. Таким образом, второй угол треугольника равен 180 - 90 - 150 = -60 градусов. Будучи треугольником, мы знаем, что сумма углов этого треугольника также равна 180 градусов.

Чтобы найти третий угол треугольника, мы отнимаем сумму двух известных углов от 180 градусов: 180 - 90 - 60 = 30 градусов. Теперь у нас есть треугольник с углами 30, 90 и 150 градусов.

Заметим, что данный треугольник является прямоугольным, поскольку имеет прямой угол. Также он является равнобедренным треугольником в силу того, что два его угла равны 30 градусов.

Зная это, мы можем найти высоту трапеции, которая является высотой треугольника. Для этого можно воспользоваться тангенсом угла 30 градусов:

\[ \tan 30^\circ = \dfrac{h}{\frac{14}{2}} \]

\[ \sqrt{3} = \dfrac{h}{7} \]

\[ h = \sqrt{3} \cdot 7 \]

\[ h = 7 \sqrt{3} \]

Теперь у нас есть значение высоты треугольника, которая является высотой трапеции.

Осталось только подставить найденные значения в формулу для площади трапеции:

\[ S = \dfrac{(a + b) \cdot h}{2} \]

Так как одно из оснований равно 10 см, а второе основание (боковая сторона) равно 14 см, а высота равна \(7\sqrt{3}\) см, подставим значения и рассчитаем площадь:

\[ S = \dfrac{(10 + 14) \cdot 7\sqrt{3}}{2} \]

\[ S = \dfrac{24 \cdot 7\sqrt{3}}{2} \]

\[ S = 12 \cdot 7\sqrt{3} \]

\[ S = 84\sqrt{3} \]

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции равна \(84\sqrt{3}\) квадратных сантиметров.