Какова мера угла ZAMD в треугольнике ADC, если на стороне AC, начиная от вершины A, отмечены точки МиР, проведена

Скворец

41

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся свойствами треугольника и теоремой о биссектрисе.

У нас имеется треугольник ADC. Дано, что угол ZADM равен 2CDP.

1. Шаг: Рассмотрим треугольник MDP. Поскольку DH является высотой и биссектрисой этого треугольника, то у нас есть следующее соотношение:

\(\angle MDH = \angle PDH\)

Также, по определению биссектрисы, у нас имеется следующее равенство:

\(\frac{{DM}}{{MP}} = \frac{{DH}}{{HP}}\)

2. Шаг: Вернемся к треугольнику ADC. У нас дано, что угол ZADM равен 2CDP. Из этого равенства следует, что

\(\angle ZADM = 2 \cdot \angle CDP\)

3. Шаг: Теперь воспользуемся равенством углов, которое устанавливает соответствие между биссектрисой и противолежащей стороной треугольника. Более конкретно, у нас есть следующее равенство:

\(\frac{{DM}}{{MP}} = \frac{{AD}}{{AP}}\)

4. Шаг: Собираем все имеющиеся равенства вместе. Из шага 1 у нас есть равенство:

\(\angle MDH = \angle PDH\)

Заметим, что углы \(\angle ZADM\) и \(\angle MDH\) являются вертикальными углами.

Получаем:

\(\angle ZADM = \angle MDH = \angle PDH\)

Далее, поскольку \(\frac{{DM}}{{MP}} = \frac{{AD}}{{AP}}\) (из шага 3), мы можем заметить, что \(\frac{{DM}}{{MP}} = \frac{{DH}}{{HP}}\) (так как DH - биссектриса треугольника MDP).

То есть,

\(\frac{{DH}}{{HP}} = \frac{{AD}}{{AP}}\)

5. Шаг: У нас также есть условие, что угол ZADM равен 2CDP.

Мы знаем, что \(\angle ZADM = \angle PDH\) (из шага 4) и \(\angle PDH = \angle CDP\).

Значит, у нас есть:

\(\angle ZADM = \angle PDH = \angle CDP\)

6. Шаг: Известно, что углы треугольника суммируются до 180 градусов. Поэтому, равенство:

\(\angle ZADM + \angle HAD + \angle ADH = 180^\circ\)

Можем переписать, используя информацию, полученную в предыдущих шагах:

\(\angle CDP + \angle ADH + \angle HAD = 180^\circ\)

В этом равенстве у нас уже известен один угол.

7. Шаг: Теперь, с помощью решения уравнения из пункта 6, мы можем найти значение угла ZAMD:

\(\angle CDP + \angle ADH + \angle HAD = 180^\circ\)

Подставляя полученные равенства:

\(2 \cdot \angle CDP + \angle ADH + \angle HAD = 180^\circ\)

Теперь выразим один из углов через другие:

\(2 \cdot \angle CDP + \angle ADH = 180^\circ - \angle HAD\)

Так как уголы треугольника суммируются до 180 градусов, то имеем:

\(\angle HAD + \angle ADH + \angle DHA = 180^\circ\)

Отсюда:

\(\angle ADH = 180^\circ - \angle HAD - \angle DHA\)

Подставляя это в предыдущее равенство:

\(2 \cdot \angle CDP + 180^\circ - \angle HAD - \angle DHA = 180^\circ - \angle HAD\)

Сокращаем одинаковые члены:

\(2 \cdot \angle CDP - \angle DHA = 0\)

Разделим на 2:

\(\angle CDP - \frac{{\angle DHA}}{2} = 0\)

Теперь можем найти значение угла ZAMD:

\(\angle CDP = \frac{{\angle DHA}}{2}\)

Таким образом, мера угла ZAMD равна половине меры угла ADH.


Надеюсь, этот пошаговый ответ помог вам понять это упражнение. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь спрашивать.