Какая площадь поверхности имеет правильный октаэдр, если его сечение совпадает с плоскостью симметрии и имеет площадь

Magnitnyy_Magnat

22

Чтобы решить данную задачу, сначала нам необходимо разобраться с определением правильного октаэдра.

Правильный октаэдр - это выпуклое многогранное тело, состоящее из восьми равных правильных треугольников, примыкающих к каждой из вершин октаэдра. У каждого треугольника ребра равны по длине, а углы равны между собой.

Теперь, если сечение октаэдра совпадает с плоскостью симметрии, то это сечение будет представлять собой правильный шестиугольник. Площадь этого шестиугольника мы и должны найти.

Для нахождения площади правильного шестиугольника сначала обратимся к формуле площади правильного n-угольника:

\[S = \frac{n \cdot a^2}{4 \cdot \tan(\pi/n)}\]

где S - площадь, n - количество сторон, a - длина стороны.

В случае нашего шестиугольника, у которого все стороны равны между собой, формула упростится до:

\[S = \frac{6 \cdot a^2}{4 \cdot \tan(\pi/6)}\]

С другой стороны, у нас есть всего две величины в задаче: площадь октаэдра и количество вершин. Помним, что в одной вершине сходятся три ребра, и каждое ребро примыкает к одному треугольнику.

Таким образом, площадь октаэдра можно представить как площадь одного из треугольников, умноженную на количество треугольников в октаэдре:

\[S_{\text{октаэдра}} = S_{\text{треугольника}} \cdot \text{количество треугольников}\]

Так как у нас есть шестиугольное сечение в плоскости симметрии, то количество треугольников равно 6.

Теперь можем записать уравнение:

\[S_{\text{октаэдра}} = S_{\text{треугольника}} \cdot 6\]

Подставим в формулу площади шестиугольника наше выражение для площади октаэдра:

\[S_{\text{октаэдра}} = \frac{6 \cdot a^2}{4 \cdot \tan(\pi/6)} \cdot 6\]

Сокращаем подобные части:

\[S_{\text{октаэдра}} = \frac{6 \cdot a^2 \cdot 6}{4 \cdot \tan(\pi/6)}\]

Итак, мы нашли формулу для вычисления площади поверхности правильного октаэдра. Теперь остается только подставить известные значения и вычислить площадь.