Какова минимальная длина кодовой последовательности для слова ПАМПУШКА, если известно, что она удовлетворяет условию

Solnechnyy_Smayl

24

Чтобы найти минимальную длину кодовой последовательности для слова "ПАМПУШКА" с условием Фано, мы должны учесть вероятности появления каждой буквы в слове.

Сначала создадим таблицу вероятностей для каждой буквы:
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Буква} & \text{Вероятность} \\
\hline
П & 0.2 \\
\hline
А & 0.2 \\
\hline
М & 0.1 \\
\hline
У & 0.1 \\
\hline
Ш & 0.1 \\
\hline
К & 0.1 \\
\hline
А & 0.2 \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь отсортируем вероятности по убыванию:
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Буква} & \text{Вероятность} \\
\hline
П & 0.2 \\
\hline
А & 0.2 \\
\hline
А & 0.2 \\
\hline
М & 0.1 \\
\hline
У & 0.1 \\
\hline
Ш & 0.1 \\
\hline
К & 0.1 \\
\hline
\end{array}
\]

Затем присвоим кодовые последовательности каждой букве, начиная с самой вероятной. Если вероятности совпадают, мы присваиваем одинаковую кодовую последовательность, а затем продолжаем с другими буквами.

Применяя алгоритм Фано, разделяем таблицу пополам, чтобы получить коды для каждой буквы. При этом, единица добавляется к коду таблицы с большей вероятностью, а ноль добавляется к коду таблицы с меньшей вероятностью.

Процесс будет выглядеть следующим образом:

\begin{enumerate}
\item Разделим таблицу пополам:
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Буква} & \text{Вероятность} \\
\hline
П & 0.2 \\
\hline
А & 0.2 \\
\hline
А & 0.2 \\
\hline
\textcolor{red}{М} & \textcolor{red}{0.1} \\
\hline
\textcolor{red}{У} & \textcolor{red}{0.1} \\
\hline
Ш & 0.1 \\
\hline
К & 0.1 \\
\hline
\end{array}
\quad
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Буква} & \text{Вероятность} \\
\hline
\textcolor{blue}{П} & \textcolor{blue}{0.2} \\
\hline
\textcolor{blue}{А} & \textcolor{blue}{0.2} \\
\hline
\textcolor{red}{М} & \textcolor{red}{0.1} \\
\hline
\textcolor{red}{У} & \textcolor{red}{0.1} \\
\hline
\textcolor{red}{Ш} & \textcolor{red}{0.1} \\
\hline
\textcolor{red}{К} & \textcolor{red}{0.1} \\
\hline
\textcolor{red}{А} & \textcolor{red}{0.2} \\
\hline
\end{array}
\]

\item Присвоим кодовые последовательности для каждой половины таблицы:
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Буква} & \text{Вероятность} & \text{Код} \\
\hline
П & 0.2 & 0 \\
\hline
А & 0.2 & 1 \\
\hline
А & 0.2 & 1 \\
\hline
\textcolor{red}{М} & \textcolor{red}{0.1} & \textcolor{red}{00} \\
\hline
\textcolor{red}{У} & \textcolor{red}{0.1} & \textcolor{red}{01} \\
\hline
Ш & 0.1 & 10 \\
\hline
К & 0.1 & 11 \\
\hline
\end{array}
\quad
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Буква} & \text{Вероятность} & \text{Код} \\
\hline
\textcolor{blue}{П} & \textcolor{blue}{0.2} & \textcolor{blue}{0} \\
\hline
\textcolor{blue}{А} & \textcolor{blue}{0.2} & \textcolor{blue}{1} \\
\hline
\textcolor{red}{М} & \textcolor{red}{0.1} & \textcolor{red}{0} \\
\hline
\textcolor{red}{У} & \textcolor{red}{0.1} & \textcolor{red}{1} \\
\hline
\textcolor{red}{Ш} & \textcolor{red}{0.1} & \textcolor{red}{1} \\
\hline
\textcolor{red}{К} & \textcolor{red}{0.1} & \textcolor{red}{1} \\
\hline
\textcolor{red}{А} & \textcolor{red}{0.2} & \textcolor{red}{10} \\
\hline
\end{array}
\]
\end{enumerate}

Теперь мы получили две таблицы с кодовыми последовательностями для каждой половины. Длина кодовой последовательности равна сумме произведений вероятности и длины соответствующей кодовой последовательности.

Для первой таблицы:
\[
\text{Длина} = (0.2 \times 1) + (0.2 \times 1) + (0.2 \times 1) + (0.1 \times 2) + (0.1 \times 2) + (0.1 \times 2) + (0.1 \times 2) = 1 + 1 + 1 + 0.2 + 0.2 + 0.2 + 0.2 = 3.8 \text{ символов}
\]

Для второй таблицы:
\[
\text{Длина} = (0.2 \times 1) + (0.2 \times 1) + (0.1 \times 1) + (0.1 \times 1) + (0.1 \times 1) + (0.1 \times 1) + (0.2 \times 2) = 1 + 1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.4 = 2.9 \text{ символов}
\]

Таким образом, минимальная длина кодовой последовательности для слова "ПАМПУШКА" с условием Фано составляет 2.9 символов.