Какова молярная масса идеального газа, которому требуется 1610 Дж энергии при незакрепленном поршне для нагрева 20

Рак_107

3

Молярная масса идеального газа может быть вычислена, используя уравнение состояния идеального газа и закон сохранения энергии.

Для начала, давайте рассмотрим ситуацию с незакрепленным поршнем. В этом случае работа \(W\) выполненная газом равна внутренней энергии \(U\) плюс изменение кинетической энергии \(K\) и изменение потенциальной энергии \(P\):

\[W = \Delta U + \Delta K + \Delta P\]

Поскольку имеется только нагревание газа, изменение кинетической и потенциальной энергии равны нулю. Следовательно, работа равна только изменению внутренней энергии:

\[W = \Delta U\]

Запишем формулу для нахождения изменения внутренней энергии:

\[\Delta U = n \cdot C_v \cdot \Delta T\]

где \(n\) - количество вещества газа (в молях), \(C_v\) - молярная теплоемкость при постоянном объёме и \(\Delta T\) - изменение температуры.

Молярная теплоемкость при постоянном объёме \(C_v\) связана с универсальной газовой постоянной \(R\) соотношением \(C_v = \frac{R}{\gamma - 1}\), где \(\gamma\) - показатель адиабаты. Для идеального моноатомного газа, \(\gamma = \frac{5}{3}\).

Теперь мы можем записать формулу для работы \(W\):

\[W = n \cdot \left(\frac{R}{\gamma - 1}\right) \cdot \Delta T\]

Молярная масса \(M\) идеального газа определяется отношением массы газа к количеству вещества:

\[M = \frac{m}{n}\]

где \(m\) - масса газа.

Молярная масса также связана с универсальной газовой постоянной \(R\) и константами Больцмана \(k\) следующим образом:

\[R = k \cdot N_A = 8.314 \, \text{Дж/(моль K)} \quad \text{(универсальная газовая постоянная)}\]
\[N_A = 6.022 \times 10^{23} \, \text{моль}^{-1} \quad \text{(число Авогадро)}\]

Теперь давайте рассмотрим случай с закрепленным поршнем. В этом случае работа равна нулю, так как объем газа не меняется. Уравнение первого закона термодинамики записывается как:

\[\Delta U = Q + W\]

где \(Q\) - теплота, переданная системе. Аналогично предыдущему случаю, теплоту \(Q\) можно выразить через количество вещества \(n\), молярную теплоемкость при постоянном давлении \(C_p\) и изменение температуры \(\Delta T\):

\[Q = n \cdot C_p \cdot \Delta T\]

Как и раньше, молярная теплоемкость при постоянном давлении \(C_p\) связана с универсальной газовой постоянной \(R\) и показателем адиабаты \(\gamma\) следующим образом: \(C_p = \frac{R}{\gamma - 1} + R\).

Теперь мы можем записать формулу для теплоты \(Q\):

\[Q = n \cdot \left(\frac{R}{\gamma - 1} + R\right) \cdot \Delta T\]

Поскольку работа \(W\) равна нулю, внутренняя энергия \(\Delta U\) также равна теплоте \(Q\).

Теперь, зная формулы для работы \(W\) и теплоты \(Q\) в обоих случаях, мы можем решить уравнения относительно молярной массы \(M\).

Подставим значения в уравнение для работы \(W\) с незакрепленным поршнем:

\[1610 = n \cdot \left(\frac{R}{\gamma - 1}\right) \cdot \Delta T\]

\[1610 = n \cdot \left(\frac{8.314}{\frac{5}{3} - 1}\right) \cdot 10\]

\[1610 = n \cdot \left(\frac{8.314}{\frac{2}{3}}\right) \cdot 10\]

\[n = \frac{1610}{\frac{8.314}{\frac{2}{3}} \cdot 10}\]

\[n \approx 292.351 \, \text{моль}\]

Подставим значения в уравнение для работы \(W\) со закрепленным поршнем:

\[1527 = n \cdot \left(\frac{R}{\gamma - 1} + R\right) \cdot \Delta T\]

\[1527 = n \cdot \left(\frac{8.314}{\frac{5}{3} - 1} + 8.314\right) \cdot 10\]

\[1527 = n \cdot \left(\frac{8.314}{\frac{2}{3}} + 8.314\right) \cdot 10\]

\[n = \frac{1527}{\frac{8.314}{\frac{2}{3}} + 8.314 \cdot 10}\]

\[n \approx 274.085 \, \text{моль}\]

Теперь мы можем вычислить молярную массу \(M\) идеального газа, подставив полученные значения количества вещества \(n\) и массы газа \(m\) в формулу:

\[\text{Молярная масса} \, M = \frac{m}{n}\]

Для каждого случая:

\[\text{Для незакрепленного поршня:} \, M = \frac{20}{292.351} \approx 0.0684 \, \text{г/моль}\]
\[\text{Для закрепленного поршня:} \, M = \frac{20}{274.085} \approx 0.0729 \, \text{г/моль}\]

Таким образом, молярная масса идеального газа составляет примерно 0.0684 г/моль для случая с незакрепленным поршнем и примерно 0.0729 г/моль для случая с закрепленным поршнем.