Какова мощность электрического тока, необходимая для нагревания нити диаметром 1 мм и длиной 20 см до температуры 2500

Andreevich

62

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать закон Стефана-Больцмана, который связывает мощность излучения тела с его температурой. Формула этого закона выглядит следующим образом:

\[ P = A \cdot \varepsilon \cdot \sigma \cdot T^4, \]

где
\( P \) - мощность излучения (в ваттах),
\( A \) - площадь поверхности излучающего тела (в квадратных метрах),
\( \varepsilon \) - коэффициент черноты тела (безразмерная величина, для идеально черного тела равен 1),
\( \sigma \) - постоянная Стефана-Больцмана (приближенно равна \(5.67 \times 10^{-8} \, \text{Вт/(м}^2\cdot\text{К}^4)\)),
\( T \) - температура тела (в кельвинах).

Для начала, найдем площадь поверхности нити. Площадь поверхности ни одного конуса можно найти по формуле:

\[ A = \pi \cdot r \cdot l, \]

где
\( r \) - радиус конуса (в метрах),
\( l \) - образующая конуса (в метрах).

Так как нить имеет форму цилиндра, то радиус можно найти как половину диаметра, то есть \( r = \frac{d}{2} = \frac{1 \, \text{мм}}{2} = 0.0005 \, \text{м} \).

Образующая конуса находится по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике с катетами, равными радиусу и длине нити:

\[ l = \sqrt{r^2 + h^2}, \]

где
\( h \) - высота цилиндра (в метрах).

Так как нам дана только длина нити, а не высота цилиндра, то предположим, что цилиндр имеет форму прямоугольного цилиндра (высота равна длине), то есть \( h = 0.2 \, \text{м} \).

Подставляя значения в формулу для площади поверхности \( A = \pi \cdot r \cdot l \), получаем:

\[ A = \pi \cdot 0.0005 \, \text{м} \cdot \sqrt{(0.0005 \, \text{м})^2 + (0.2 \, \text{м})^2} \approx 0.001575 \, \text{м}^2. \]

Теперь, используя формулу \( P = A \cdot \varepsilon \cdot \sigma \cdot T^4 \), мы можем вычислить мощность излучения:

\[ P = 0.001575 \, \text{м}^2 \times 0.5 \times (5.67 \times 10^{-8} \, \text{Вт/(м}^2\cdot\text{К}^4)) \times (2500 \, \text{К})^4 \approx 3.53 \, \text{Вт}. \]

Таким образом, для нагревания нити диаметром 1 мм и длиной 20 см до температуры 2500 К при учете коэффициента черноты 0,5 и потери тепла лучеиспусканием, необходима мощность электрического тока, равная примерно 3.53 ватта.