Какова может быть наибольшая масса пластины, которая не зайдет под воду, если она аккуратно размещена на поверхности

Polyarnaya

54

Чтобы решить эту задачу, мы должны обратиться к принципу Архимеда, который гласит, что на любое тело, погруженное в жидкость, действует сила поддержки, равная весу вытесненной жидкости. Используя этот принцип, найдем массу пластины, которая не сможет погрузиться в воду.

Давайте рассмотрим ситуацию, когда пластина только начинает погружаться в воду. На этом этапе сила тяжести пластины направлена вниз, а сила поддержки воды направлена вверх.

Пусть масса пластины равна \(m\) кг, а плотность пластины равна \(\rho_p\) кг/м\(^3\). Плотность воды обозначим как \(\rho_w\) кг/м\(^3\).

Когда пластина только начинает погружаться, сила поддержки воды равна весу вытесненной воды. Вес вытесненной воды равен произведению плотности воды и объема воды, вытесненного пластиной. Объем воды, вытесненный пластиной, равен площади пластины, умноженной на глубину погружения \(h\).

Таким образом, сила поддержки воды равна \(\rho_w \cdot g \cdot A \cdot h\), где \(A\) - площадь пластины, а \(g\) - ускорение свободного падения (приближенно равно 9,8 м/с\(^2\)).

Сила тяжести пластины равна массе пластины, умноженной на ускорение свободного падения, то есть \(m \cdot g\).

Когда пластина находится в равновесии и только начинает погружаться, силы поддержки и тяжести равны по модулю: \(\rho_w \cdot g \cdot A \cdot h = m \cdot g\).

Разделив обе части равенства на \(g\) и выразив площадь пластины, получаем:

\[A = \frac{m}{\rho_w \cdot h}\]

Чтобы пластина не могла погрузиться в воду, сила поддержки должна быть равна или превышать силу тяжести пластины на любой глубине погружения. Мы ищем наибольшую массу пластины, поэтому нужно найти наименьшую площадь пластины.

Выражение \(A = \frac{m}{\rho_w \cdot h}\) показывает, что площадь пластины обратно пропорциональна глубине погружения \(h\). Следовательно, чтобы получить наименьшую площадь пластины, нужно максимизировать глубину погружения.

Очевидно, что максимальная глубина погружения достигается, когда вся пластина полностью погружена в воду. В этом случае \(h\) равно высоте пластины \(H\).

Таким образом, чтобы максимизировать глубину погружения, необходимо сделать пластину высокой и иметь большую площадь, чтобы распределить вес пластины на большую площадь.

Ответ: Наибольшая масса пластины, которая не зайдет под воду, достигается, когда вся пластина полностью погружена в воду. В этом случае \(h\) равно высоте пластины \(H\) и площадь пластины \(A\) достигает своего максимального значения. Для данной задачи нам необходимо узнать высоту пластины \(H\) и плотность воды \(\rho_w\), чтобы дать точный ответ.