Какова начальная длина стержня на горизонтально расположенном латунном стержне, который закреплен с одной стороны
Какова начальная длина стержня на горизонтально расположенном латунном стержне, который закреплен с одной стороны и на который действует растягивающая сила f=1 кн? Значения абсолютного и относительного удлинения стержня соответственно равны δl=4 мм и ε=0,005. Модуль упругости латуни e=100 гпа, а число π=3,14. Предполагается, что значение механического напряжения не превышает предела пропорциональности данного материала. Каков диаметр стержня?
Taras 70
Для решения этой задачи мы можем использовать закон Гука для расчёта удлинения стержня под воздействием приложенной силы. Закон Гука гласит, что удлинение стержня (δl) пропорционально силе (F) и обратно пропорционально модулю упругости материала (E). Формула для расчёта удлинения стержня выглядит следующим образом:\[\delta l = \frac{F \cdot L}{A \cdot E}\],
где F - растягивающая сила, L - исходная длина стержня, A - площадь поперечного сечения стержня, E - модуль упругости материала.
Однако в данной задаче нам дано относительное удлинение стержня (ε) и его абсолютное удлинение (δl), поэтому мы можем воспользоваться следующими формулами:
\[\varepsilon = \frac{\delta l}{L}\],
где ε - относительное удлинение, δl - абсолютное удлинение, L - исходная длина стержня.
Также у нас есть формула для площади поперечного сечения стержня:
\[A = \frac{\pi \cdot d^2}{4}\],
где A - площадь поперечного сечения стержня, d - диаметр стержня.
Мы можем совместить эти формулы и решить задачу:
\[\varepsilon = \frac{\delta l}{L} = \frac{F \cdot L}{A \cdot E} \Rightarrow L = \frac{\delta l \cdot d^2 \cdot E}{4 \cdot F \cdot \pi}\].
Теперь у нас есть выражение для исходной длины стержня (L) в зависимости от известных данных. Подставим значения в формулу:
\[L = \frac{0.004 \cdot (d/1000)^2 \cdot 100 \cdot 10^9}{4 \cdot 1000 \cdot 3.14 \cdot 10^6} = \frac{400 \cdot d^2}{4 \cdot 3.14 \cdot 10^3} = \frac{100 \cdot d^2}{3.14 \cdot 10^3}\].
Теперь мы можем найти исходную длину стержня, используя данное выражение. Однако в задаче не указаны единицы измерения длины стержня. Если абсолютное удлинение δl указано в миллиметрах, то и начальную длину стержня L нужно выразить в миллиметрах для согласованности единиц измерения. Таким образом, ответ будет иметь вид:
\[L = \frac{100 \cdot d^2}{3.14 \cdot 10^3} \text{ мм}\].
Теперь мы можем перейти к нахождению диаметра стержня. Для этого мы можем решить уравнение, выраженное в формуле для исходной длины стержня:
\[L = \frac{100 \cdot d^2}{3.14 \cdot 10^3} \Rightarrow d^2 = \frac{3.14 \cdot 10^3 \cdot L}{100} \Rightarrow d = \sqrt{\frac{3.14 \cdot 10^3 \cdot L}{100}}\].
Теперь мы можем найти диаметр стержня, подставив значение исходной длины L (которое мы получили ранее) в данное уравнение:
\[d = \sqrt{\frac{3.14 \cdot 10^3 \cdot L}{100}}\].
Таким образом, для решения данной задачи необходимо вычислить исходную длину стержня L, используя формулу, а затем найти диаметр стержня d, подставив значение L в уравнение для диаметра.