Какова начальная скорость V0 шарика при его прохождении положения равновесия, если он совершает гармонические колебания

Svetik

56

Для решения данной задачи нам понадобятся формулы, связанные с гармоническими колебаниями.

Первая формула, которую мы используем, связывает период колебаний \(T\) с частотой колебаний \(f\):
\[T = \frac{1}{f}\]
где \(T\) измеряется в секундах, а \(f\) в герцах (Гц).

Вторая формула связывает среднюю скорость колеблющегося объекта \(v_{\text{ср}}\) с амплитудой колебаний \(A\) и периодом \(T\):
\[v_{\text{ср}} = \frac{2 \cdot \pi \cdot A}{T}\]
где \(A\) измеряется в сантиметрах, \(T\) в секундах, и \(v_{\text{ср}}\) в сантиметрах в секунду.

Третья формула, с которой мы будем работать, определяет среднюю скорость колеблющегося объекта \(v_{\text{ср}}\) через начальную скорость \(V_0\) и максимальную скорость \(V_{\text{макс}}\):
\[v_{\text{ср}} = \frac{V_{\text{макс}}}{2}\]
где \(V_0\) и \(V_{\text{макс}}\) измеряются в сантиметрах в секунду.

Для решения задачи нам нужно выразить начальную скорость \(V_0\) через известную среднюю скорость \(v_{\text{ср}}\).

Сначала воспользуемся второй формулой для выражения периода \(T\) через среднюю скорость и амплитуду колебаний:
\[v_{\text{ср}} = \frac{2 \cdot \pi \cdot A}{T}\]
После преобразований получаем:
\[T = \frac{2 \cdot \pi \cdot A}{v_{\text{ср}}}\]

Теперь воспользуемся первой формулой для выражения частоты \(f\) через период \(T\):
\[T = \frac{1}{f}\]
Отсюда следует:
\[f = \frac{1}{T} = \frac{v_{\text{ср}}}{2 \cdot \pi \cdot A}\]

Известно, что период колебаний связан с частотой следующим образом:
\[f = \frac{1}{T}\]
Получаем:
\[T = \frac{1}{f} = \frac{2 \cdot \pi \cdot A}{v_{\text{ср}}}\]

Далее воспользуемся третьей формулой, чтобы связать среднюю скорость колеблющегося объекта \(v_{\text{ср}}\) с начальной скоростью \(V_0\):
\[v_{\text{ср}} = \frac{V_{\text{макс}}}{2}\]
Раз \(v_{\text{ср}}\) у нас уже известна (7 см/с), можем решить уравнение относительно \(V_{\text{макс}}\):
\[7 = \frac{V_{\text{макс}}}{2}\]

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:
\[14 = V_{\text{макс}}\]

Теперь мы можем найти начальную скорость \(V_0\) с использованием преобразованной формулы:
\[V_0 = 2 \cdot v_{\text{ср}} = 2 \cdot 7 = 14\]
Таким образом, начальная скорость шарика \(V_0\) при его прохождении положения равновесия равна 14 см/с.