Какова объемная плотность заряда в центре сплошного однородного металлического шара радиуса R, если он заряжен зарядом

Весна

6

Объемная плотность заряда \(\rho\) в центре сплошного однородного металлического шара можно вычислить с помощью следующего рассуждения.

Предположим, что у нас есть шар радиуса \(R\) и зарядом \(q\) распределенным равномерно по объему шара. Обозначим элементарный объем внутри шара как \(\Delta V\), и его соответствующий заряд как \(\Delta q\). Таким образом, объемный элемент шара будет иметь объемную плотность заряда равную \(\rho = \frac{\Delta q}{\Delta V}\).

Для определения объемной плотности заряда в центре шара нам понадобится знать, как изменяется элементарный объем \(\Delta V\) и соответствующий заряд \(\Delta q\) по мере удаления от центра шара.

Внутри шара каждому радиусу \(r\) соответствует свой объемный элемент \(\Delta V\) и заряд \(\Delta q\). При этом радиус \(r\) будет находиться в пропорции с радиусом \(R\) и составлять долю от него. Таким образом, можем записать следующее:

\(\Delta V = \frac{4}{3}\pi r^3\),
\(\Delta q = \frac{q}{\frac{4}{3}\pi R^3} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3\).

Сокращая подобные слагаемые и приводя к общему знаменателю, получим:

\(\Delta q = \frac{q \cdot r^3}{R^3}\).

Теперь можем найти объемную плотность заряда \(\rho\) в центре шара. Для этого объединим выражения для \(\Delta V\) и \(\Delta q\):

\(\rho = \frac{\Delta q}{\Delta V} = \frac{\frac{q \cdot r^3}{R^3}}{\frac{4}{3}\pi r^3}\).

Упростим данное выражение, сократив слагаемые и приведя к общему знаменателю:

\(\rho = \frac{3q}{4\pi R^3}\).

Таким образом, плотность заряда в центре сплошного однородного металлического шара радиуса \(R\), если он заряжен зарядом \(q\), равна \(\frac{3q}{4\pi R^3}\).

В таком ответе школьнику предоставляется подробное объяснение процесса решения задачи, а также обоснование ответа. Это поможет ему лучше понять материал.