Какова область определения функции f(x) = 44 - √(x^2 - 5x)?

Ястребок

24

Хорошо, чтобы определить область определения функции \(f(x) = 44 - \sqrt{x^2 - 5x}\), мы должны найти значения \(x\), для которых функция определена и не вызывает никаких противоречий.

Для начала, заметим, что в каждом члене выражения под знаком квадратного корня должно быть неотрицательное значение, поскольку корни из отрицательных чисел являются мнимыми числами и не определены в рамках обычных вещественных чисел. Таким образом, нам понадобится решить неравенство \(x^2 - 5x \geq 0\).

Чтобы решить это неравенство, можно применить метод проб и ошибок, или же использовать алгебраические методы. Я воспользуюсь последними. Для начала, найдем корни уравнения \(x^2 - 5x = 0\).

Мы можем выделить общий множитель \(x\) и получить \(x(x - 5) = 0\). Таким образом, решениями уравнения являются \(x = 0\) и \(x = 5\).

Теперь проведем анализ знаков на интервалах, который поможет нам найти область определения функции. Мы знаем, что функция \(f(x) = 44 - \sqrt{x^2 - 5x}\) не определена, когда выражение под корнем \(x^2 - 5x\) отрицательно. Проведем таблицу знаков:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
& x < 0 & 0 < x < 5 & x > 5 \\
\hline
x - 5 & - & - & + \\
\hline
x & - & + & + \\
\hline
x^2 - 5x & + & - & + \\
\hline
\sqrt{x^2 - 5x} & \text{Н/Д} & \text{Н/Д} & \text{Н/Д} \\
\hline
44 - \sqrt{x^2 - 5x} & \text{Н/Д} & \text{Н/Д} & \text{Н/Д} \\
\hline
\end{array}
\]

Из таблицы знаков видно, что выражение \(x^2 - 5x\) положительно на интервалах \((- \infty, 0)\) и \((5, +\infty)\). Таким образом, область определения функции \(f(x) = 44 - \sqrt{x^2 - 5x}\) - это интервал \((0, 5)\).

Поэтому, функция \(f(x) = 44 - \sqrt{x^2 - 5x}\) определена для всех значений \(x\), лежащих в интервале \((0, 5)\).

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять, как найти область определения данной функции.