Какова область определения функции y=ln(3-x)+5/x+sinx-cos2x+ln(x+1)?

Tanec

59

Для определения области определения функции мы должны учесть все ограничения, которые могут возникнуть внутри данной функции.

В данном случае, мы имеем несколько составных функций, а именно: логарифм, обратная функция, синус, косинус и логарифм еще раз. Давайте рассмотрим каждую из них по отдельности.

1. Логарифм: функция \(y = \ln(3-x)\) имеет ограничение на аргумент \(3 - x\), так как логарифм отрицательного числа не определен. Таким образом, имеем условие \(3-x > 0\), откуда \(x < 3\).

2. Обратная функция: функция \(y = \frac{5}{x}\) имеет ограничение на аргумент \(x\), так как деление на ноль запрещено. Поэтому, условие для этой функции: \(x \neq 0\).

3. Синус: тригонометрическая функция \(y = \sin(x)\) не имеет ограничений на область определения, она определена для любого \(x\).

4. Косинус: тригонометрическая функция \(y = \cos(2x)\) не имеет ограничений на область определения, она определена для любого \(x\).

5. Логарифм: функция \(y = \ln(x+1)\) имеет ограничение на аргумент \(x+1\), так как логарифм отрицательного или нулевого числа не определен. Поэтому, \(x + 1 > 0\), откуда \(x > -1\).

Теперь объединим все полученные ограничения. Исключим точки, где функция становится неопределенной или несуществующей:
\[x < 3\]
\[x \neq 0\]
\[x > -1\]

Общая область определения функции состоит из всех значений \(x\), которые удовлетворяют этим условиям одновременно. Можно записать их в виде интервалов или объединить в одно неравенство.

Для данной функции ограничения на \(x\) можно записать следующим образом:
\[x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 0) \cup (0, 3)\]

Это значит, что область определения функции \(y = \ln(3-x) + \frac{5}{x} + \sin(x) - \cos(2x) + \ln(x+1)\) состоит из всех значений \(x\), которые принадлежат интервалам \((- \infty, -1)\), \((-1, 0)\) и \((0, 3)\).