Какова относительная погрешность функции y=2x^3 при заданных значениях x=300 и dx=0,5?

Ledyanaya_Pustosh

5

Для решения этой задачи нам нужно вычислить относительную погрешность функции \(y = 2x^3\) при заданных значениях \(x = 300\) и \(dx = 0.5\). Относительная погрешность измерений показывает, насколько точно измеряемая величина соответствует своему истинному значению.

Шаг 1: Вычисление значений функции в пределах погрешности
Подставим значения \(x = 300\) и \(dx = 0.5\) в функцию \(y = 2x^3\) и найдем два значения: одно для \(x + dx\) и другое для \(x - dx\).

Для \(x + dx\):
\[y_1 = 2(300 + 0.5)^3\]

Для \(x - dx\):
\[y_2 = 2(300 - 0.5)^3\]

Шаг 2: Вычисление погрешности функции
Для вычисления погрешности необходимо вычислить разницу между значениями функции \(y_1\) и \(y_2\) и поделить ее на исходное значение функции \(y\) (при \(x = 300\)).

\[P = \frac{{y_1 - y_2}}{{y}}\]

Шаг 3: Подсчет результата
Теперь мы можем вычислить конечный результат подставив значения функций, полученных в \(y_1\), \(y_2\) и \(x\):

\[P = \frac{{2(300 + 0.5)^3 - 2(300 - 0.5)^3}}{{2(300)^3}}\]

Давайте теперь вычислим значения \(y_1\) и \(y_2\):

\[y_1 = 2(300 + 0.5)^3\]
\[y_1 = 2(300.5)^3\]
\[y_1 = 2(300.5 \times 300.5 \times 300.5)\]
\[y_1 \approx 2 \times 27,183,759,225.125\]
\[y_1 \approx 54,367,518,450.25\]

Аналогично, вычислим \(y_2\):

\[y_2 = 2(300 - 0.5)^3\]
\[y_2 = 2(299.5)^3\]
\[y_2 = 2(299.5 \times 299.5 \times 299.5)\]
\[y_2 \approx 2 \times 26,930,883,379.375\]
\[y_2 \approx 53,861,766,758.75\]

Теперь вычислим погрешность \(P\):

\[P = \frac{{54,367,518,450.25 - 53,861,766,758.75}}{{54,367,518,450.25}}\]

\[P \approx \frac{{505,751,691.5}}{{54,367,518,450.25}}\]
\[P \approx 0.0093\]

Относительная погрешность функции \(y = 2x^3\) при \(x = 300\) и \(dx = 0.5\) составляет около 0.0093 (или примерно 0.93%).