Какова первообразная функции f(x) = 3sin x, график которой проходит через точку а (п/2)?

Karina

55

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Первоначально, нам нужно найти первообразную функции \(f(x) = 3\sin x\). Первообразная функция, или интеграл, является обратной операцией к производной. В данном случае, мы ищем такую функцию \(F(x)\), производная которой равна \(f(x)\).

1. Возьмем интеграл от функции \(f(x)\):
\[
\int 3\sin x \, dx
\]

2. Пользуясь известным интегралом \(\int \sin x \, dx = -\cos x\), умножим его на коэффициент и получим:
\[
3\int \sin x \, dx = -3\cos x + C
\]

В этом выражении \(C\) обозначает постоянную, так как мы можем добавить ее к любому интегралу без изменения его значения.

3. Теперь мы имеем первообразную для функции \(f(x)\):
\[
F(x) = -3\cos x + C
\]

Что касается условия, что график проходит через точку \((\pi/2, a)\), нам нужно использовать это условие, чтобы найти постоянную \(C\).

4. Подставим координаты точки \((\pi/2, a)\) в выражение для \(F(x)\):
\[
F\left(\frac{\pi}{2}\right) = -3\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + C = a
\]

Мы знаем, что \(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\), поэтому:
\[
0 + C = a \implies C = a
\]

Таким образом, первообразная функции \(f(x) = 3\sin x\) с графиком, проходящим через точку \((\pi/2, a)\), записывается как:
\[
F(x) = -3\cos x + a
\]

Готово! Теперь мы имеем подробное решение с объяснениями для заданной задачи.