Какова площадь боковой и полной поверхности данного параллелепипеда abcda1b1c1d1, если известно, что длина стороны

Orel

51

Для решения данной задачи нам потребуется использовать геометрические свойства параллелепипеда и тригонометрию.

Площадь боковой поверхности параллелепипеда можно найти, вычислив сумму площадей всех его боковых граней. Для этого нам необходимо найти длины сторон каждой грани параллелепипеда.

Итак, у нас есть параллелепипед abcda1b1c1d1, где сторона ad равна 2, сторона cd равна 3, угол adc составляет 120 градусов и сторона a1c равна √35.

Давайте начнем с нахождения длины стороны ac. Для этого воспользуемся теоремой косинусов:

\[ac^2 = ad^2 + cd^2 - 2 \cdot ad \cdot cd \cdot \cos(adc)\]

Подставим известные значения:

\[ac^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos(120^\circ)\]

Вычислим косинус 120 градусов:

\(\cos(120^\circ) = -0.5\)

Теперь можем продолжить наш расчет:

\[ac^2 = 4 + 9 + 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 0.5 = 4 + 9 + 12 = 25\]

Применим квадратный корень к обеим частям выражения:

\[ac = \sqrt{25} = 5\]

Теперь, когда у нас есть длина стороны ac, мы можем найти площадь боковой поверхности параллелепипеда. Для этого умножим периметр основания на высоту параллелепипеда:

\[S_{бок} = P_{осн} \cdot h\]

Периметр основания параллелепипеда равен сумме длин сторон a1c и ad:

\[P_{осн} = a1c + ad\]

\[P_{осн} = 5 + 2 = 7\]

Теперь нам нужно найти высоту параллелепипеда. Для этого мы можем использовать формулу:

\[h = cd \cdot \sin(adc)\]

Подставим значения:

\[h = 3 \cdot \sin(120^\circ)\]

Вычислим синус 120 градусов:

\(\sin(120^\circ) = \sqrt{3}/2\)

Продолжим наш расчет:

\[h = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\]

Теперь можем найти площадь боковой поверхности:

\[S_{бок} = 7 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{21\sqrt{3}}{2}\]

Ответ: площадь боковой поверхности данного параллелепипеда равна \(\frac{21\sqrt{3}}{2}\).

Теперь, чтобы найти полную площадь поверхности параллелепипеда, нам нужно учесть площади его оснований. Основания параллелепипеда - это прямоугольники с длиной стороны ad, шириной стороны cd и длиной стороны ac.

\[S_{полн} = 2 \cdot S_{бок} + 2 \cdot P_{осн} \cdot cd\]

Подставим известные значения:

\[S_{полн} = 2 \cdot \frac{21\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot 7 \cdot 3 = 21\sqrt{3} + 42\]

Ответ: полная площадь поверхности данного параллелепипеда равна \(21\sqrt{3} + 42\).