Какова площадь боковой поверхности цилиндра, если площадь его осевого сечения равна 18√3 см2, а отрезок, соединяющий

Misticheskaya_Feniks

57

Хорошо, давайте посмотрим на эту задачу более подробно.

Вот рисунок, который поможет нам лучше понять ситуацию:

\[
\begin{array}{c}
A \\
| \\
| \\
| \\
| h \\
| \\
O---|---O \\
R \\
\end{array}
\]

Где O и O" - это центры верхнего и нижнего оснований цилиндра соответственно, A - это точка на окружности нижнего основания, R - радиус цилиндра и h - высота цилиндра.

Нам дано, что площадь осевого сечения равна \(18\sqrt{3}\) см\(^2\). Обратите внимание, что это значение соответствует площади основания цилиндра. Пусть S обозначает площадь основания цилиндра.

Также нам известно, что отрезок OA, соединяющий центр верхнего основания цилиндра с точкой A на окружности нижнего основания, образует угол в 30° с осью цилиндра.

Для рассмотрения данной ситуации, использование геометрии оказывается крайне полезным. Мы можем обратиться к понятию сектора окружности и центрального угла.

Сектор окружности соответствует площади основания цилиндра, а отношение центрального угла к полному углу (360°) равно отношению этой сектора к площади всей окружности.

Теперь, давайте рассчитаем площадь всей окружности. Для этого нам нужно определить радиус цилиндра.

Из рисунка можно видеть, что отрезок OA - это радиус, а \(OA = R\). Также, поскольку угол OAO" равен 30°, то угол O"AО равен 60°.

Используя геометрическое свойство, что угол, заключенный в окружности проходит вдвое угла, заключенного в составному секторе и центрального угла, можем записать:

\(\angle O"AО = 2 \times \angle OAO" = 2 \times 30° = 60°\)

Обратите внимание, что угол, заключенный в сектор равен \(2 \times 60° = 120°\).

Теперь, используя информацию о площади основания цилиндра и площади всей окружности, мы можем записать следующее отношение:

\(\frac{S}{S_{\text{окр}}} = \frac{120°}{360°}\)

где \(S_{\text{окр}}\) - площадь всей окружности.

Зная, что площадь всей окружности можно выразить через ее радиус, можем записать:

\(\frac{S}{\pi \times R^2} = \frac{120°}{360°}\)

Теперь нам нужно найти радиус цилиндра. Для этого мы можем использовать информацию о площади осевого сечения, которая равна \(18\sqrt{3}\) см\(^2\).

Мы знаем, что площадь осевого сечения служит площадью основания цилиндра. Используя формулу площади круга \(S = \pi \times R^2\), можем выразить радиус следующим образом:

\(S = \pi \times R^2\)

\(18\sqrt{3} = \pi \times R^2\)

Теперь выражаем радиус:

\(R^2 = \frac{18\sqrt{3}}{\pi}\)

\(R = \sqrt{\frac{18\sqrt{3}}{\pi}}\)

Итак, после того, как мы нашли радиус цилиндра, можно подставить это значение в наше исходное отношение:

\(\frac{S}{\pi \times \left(\sqrt{\frac{18\sqrt{3}}{\pi}}\right)^2} = \frac{120°}{360°}\)

Следующим шагом является упрощение этого выражения и нахождение значения площади S.

Надеюсь, что это пошаговое решение помогло вам лучше понять данную задачу. Если у вас возникнут дальнейшие вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я готов помочь вам.