Какой радиус вписанной окружности в правильный треугольник со стороной а? Пожалуйста, предоставьте решение, а не просто

Радуга_На_Земле

12

Когда мы решаем данную задачу, нам понадобится использовать свойство вписанных окружностей в треугольнике. Обозначим радиус вписанной окружности как \(r_in\), а сторону треугольника как \(a\).

В правильном треугольнике все стороны равны между собой, поэтому для нашего треугольника каждая сторона равна \(a\).

Когда окружность вписана в треугольник, она касается каждой стороны треугольника. Отрезки от вершин треугольника до точки касания образуют радиусы окружности. Обратите внимание, что эти радиусы являются взаимно перпендикулярными к сторонам треугольника.

Давайте рассмотрим один из таких радиусов. Он будет, как угол вписанной окружности, равным половине угла при вершине в треугольнике.

Мы знаем, что для правильного треугольника угол при вершине равен 60 градусам или \(\frac{\pi}{3}\) радиан в мере.

Теперь можно использовать тригонометрические соотношения данного угла \(\frac{\pi}{3}\), чтобы найти значения синуса и косинуса этого угла:

\[\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\]

Так как радиус окружности перпендикулярен стороне треугольника, к нему можно применить теорему Пифагора. Давайте обозначим половину стороны треугольника как \(\frac{a}{2}\). Нам нужно найти отрезок, идущий от вершины треугольника до точки касания окружности с этой стороной. Обозначим его как \(d\).

Тогда мы можем записать:

\((\frac{a}{2})^2 + d^2 = r_in^2\)

Теперь давайте заменим \(d\) на \(r_in\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\), чтобы получить выражение только через радиус вписанной окружности:

\((\frac{a}{2})^2 + (r_in\cos\left(\frac{\pi}{3}\right))^2 = r_in^2\)

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\(\frac{a^2}{4} + r_in^2\cos^2\left(\frac{\pi}{3}\right) = r_in^2\)

Теперь заменим значение \(\cos^2\left(\frac{\pi}{3}\right)\) на \(\frac{1}{4}\):

\(\frac{a^2}{4} + \frac{1}{4}r_in^2 = r_in^2\)

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

\(a^2 + r_in^2 = 4r_in^2\)

Перегруппируем слагаемые:

\(a^2 = 3r_in^2\)

Теперь давайте решим уравнение относительно \(r_in\):

\(r_in^2 = \frac{a^2}{3}\)

Получаем:

\[r_in = \sqrt{\frac{a^2}{3}}\]

Таким образом, радиус вписанной окружности в правильный треугольник со стороной \(a\) равен \(\sqrt{\frac{a^2}{3}}\). Ответ найден.

Мы можем записать это с использованием формулы в LaTeX-разметке:

\[r_{in} = \sqrt{\frac{a^2}{3}}\]