Какова площадь боковой поверхности цилиндра, который образуется при вращении куба с единичными сторонами вокруг

Yaponec

62

Чтобы решить эту задачу, давайте разобьем ее на несколько шагов:

Шаг 1: Понять, что такое боковая поверхность цилиндра
Боковая поверхность цилиндра - это внешняя поверхность цилиндра, исключая его базы. В иных словах, это поверхность, которую можно прокрутить вокруг оси, чтобы получить сам цилиндр.

Шаг 2: Понять, как получить боковую поверхность цилиндра из куба
Для того чтобы получить боковую поверхность цилиндра, который образуется при вращении куба, мы должны представить себе этот процесс. Давайте взглянем на него:

Единичные стороны куба имеют длину 1. Если мы возьмем одну из этих сторон и будем вращать ее вокруг оси, соединяющей центры противоположных граней куба, она будет описывать окружность на плоскости. Длина этой окружности будет равна длине стороны куба, то есть 1.

Шаг 3: Рассчитать площадь боковой поверхности цилиндра
Окружность, описываемая стороной куба, станет основанием цилиндра. Диаметр этого основания будет равен длине стороны куба, то есть 1. Это означает, что радиус цилиндра будет равен половине длины стороны куба, что также равно 1/2.

Площадь боковой поверхности цилиндра можно рассчитать, используя формулу \(S = 2\pi r h\), где \(S\) - площадь боковой поверхности, \(\pi\) - число пи (примерно равно 3.14), \(r\) - радиус основания цилиндра, а \(h\) - высота цилиндра.

В нашем случае радиус \(r\) равен 1/2, так как длина стороны куба равна 1. Нам также нужно знать высоту цилиндра.

Шаг 4: Определить высоту цилиндра
Чтобы определить высоту цилиндра, мы должны взглянуть на его конструкцию. Когда мы вращаем куб, его сторона переходит вокруг оси и получаем цилиндр. Эсли мы изобразим эту цилиндрическую поверхность и проведем отрезок, соединяющий основания цилиндра, мы получим высоту цилиндра.

Куб имеет базы, каждая из которых является квадратом со стороной 1. Во время вращения куба в цилиндр, эти квадраты будут переходить в верхнюю и нижнюю круглые основания цилиндра. Радиус этих оснований также будет равен 1/2, как и диаметр цилиндра.

Таким образом, высота цилиндра будет равна высоте прямоугольного параллелепипеда, образованного кубом. Высота прямоугольного параллелепипеда равна длине его стороны, то есть 1.

Шаг 5: Рассчитать площадь боковой поверхности цилиндра
Теперь, когда у нас есть радиус и высота цилиндра, мы можем использовать формулу \(S = 2\pi r h\), чтобы рассчитать площадь его боковой поверхности.

\(S = 2\pi \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \pi\)

Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра, образованного при вращении куба со сторонами 1 вокруг оси, соединяющей центры его противоположных граней, равна \(\pi\).