Какова площадь боковой поверхности данного прямоугольного параллелепипеда, если его диагональ b1d равна 4√2

Солнечный_Феникс

40

Для решения данной задачи, нам необходимо выразить боковую поверхность параллелепипеда через его диагональ и углы с гранями.

Дано:
Диагональ b1d = 4√2 см.
Угол между гранью abcd и диагональю b1d = 30 градусов.
Угол между гранью dd1c1c и диагональю b1d = 45 градусов.

Шаг 1: Найдем длину диагонали ab1 через теорему Пифагора.
Используя теорему Пифагора, мы можем найти длину диагонали ab1.
По определению, диагональ ab1 является гипотенузой прямоугольного треугольника ab1d.
Известная длина гипотенузы ab1d равна 4√2 см.
По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов треугольника равна квадрату гипотенузы.
Таким образом, мы можем записать уравнение: ab1^2 + ad^2 = ab1d^2

Шаг 2: Найдем длину стороны параллелепипеда (ab).
Используя ранее найденное значение длины диагонали ab1 и угол между b1d и abcd, мы можем найти длину стороны параллелепипеда ab.
Мы знаем, что cos(θ) = ad / ab1d
Таким образом, мы можем найти ad = ab1d * cos(θ), где θ = 30 градусов.
Затем, используя найденное значение ad, мы можем найти ab, используя уравнение ab1^2 + ad^2 = ab1d^2

Шаг 3: Найдем другие стороны параллелепипеда (bc и dc).
Используя такой же подход, как в шаге 2, мы можем найти длины сторон bc и dc параллелепипеда.
Мы знаем, что cos(θ) = ad / ab1d, где θ = 45 градусов.
Таким образом, мы можем найти bc и dc, используя уравнение bc^2 + ad^2 = ab1d^2 и dc^2 + ad^2 = ab1d^2.

Шаг 4: Найдем площадь боковой поверхности параллелепипеда.
Площадь боковой поверхности параллелепипеда состоит из площадей граней adbc и bcdc1c.
Площадь грани adbc = ab * bc, а площадь грани bcdc1c = bc * dc.
Следовательно, площадь боковой поверхности параллелепипеда равна Sбк = 2 * (ab * bc + bc * dc).

Обоснование:
Применяя теорему Пифагора и формулу косинуса, мы можем вывести формулы для нахождения длин сторон параллелепипеда. Затем мы используем найденные стороны, чтобы вычислить площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Шаг 1:
ab1^2 + ad^2 = ab1d^2
ab1^2 + ab^2 = (4√2)^2
ab1^2 + ab^2 = 32

Шаг 2:
ad = ab1d * cos(30)
ad = 4√2 * cos(30)
ad = 4 * cos(30)
ad = 4 * √3 / 2
ad = 2√3

ab1^2 + ad^2 = ab1d^2
ab^2 + (2√3)^2 = 32
ab^2 + 12 = 32
ab^2 = 32 - 12
ab^2 = 20
ab = √20 = 2√5

Шаг 3:
bc = ab1d * cos(45)
bc = 4√2 * cos(45)
bc = 4 * cos(45)
bc = 4 * √(2/2)
bc = 4 * (1/√2)
bc = 4/√2 = 2√2

dc = ab1d * cos(45)
dc = 4√2 * cos(45)
dc = 4 * cos(45)
dc = 4 * √(2/2)
dc = 4 * (1/√2)
dc = 4/√2 = 2√2

Шаг 4:
Sбк = 2 * (ab * bc + bc * dc)
Sбк = 2 * (2√5 * 2√2 + 2√2 * 2√2)
Sбк = 2 * (4√10 + 8)
Sбк = 8√10 + 16

Ответ: Площадь боковой поверхности данного прямоугольного параллелепипеда равна 8√10 + 16 квадратных сантиметра.