Какова площадь боковой поверхности данного усеченного конуса, если его диагональ осевого сечения составляет 20

Елизавета

53

Для решения этой задачи, давайте начнем с определения усеченного конуса. Усеченный конус - это геометрическое тело, у которого верхнее основание и нижнее основание имеют различные радиусы.

Чтобы найти площадь боковой поверхности усеченного конуса, нам понадобится знать длину образующей, которая является диагональю осевого сечения.

По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике образующая является гипотенузой, а радиусы оснований - это катеты треугольника. Мы можем использовать эту информацию, чтобы найти длину образующей.

Для начала найдем высоту усеченного конуса. Высота - это расстояние от верхнего основания до нижнего основания, проходящее перпендикулярно плоскости оснований.

В этом случае, высота будет образовывать прямой треугольник вместе с образующей и радиусом нижнего основания. Мы можем применить теорему Пифагора:

\[
h^2 = \text{{образующая}}^2 - r_2^2
\]

где \( h \) - высота, \( \text{{образующая}} \) - длина образующей, \( r_2 \) - радиус нижнего основания.

Подставляя данную информацию:

\[
h^2 = 20^2 - 10.5^2
\]

\[
h^2 = 400 - 110.25
\]

\[
h^2 = 289.75
\]

\[
h = \sqrt{289.75} \approx 17 \, \text{{см}}
\]

Теперь у нас есть все данные, чтобы найти площадь боковой поверхности усеченного конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса можно найти с использованием формулы:

\[
S = \pi \cdot (r_1 + r_2) \cdot l
\]

где \( S \) - площадь боковой поверхности, \( r_1 \) и \( r_2 \) - радиусы верхнего и нижнего оснований соответственно, \( l \) - образующая.

Подставляя значения:

\[
S = \pi \cdot (10.5 + 10.5) \cdot 20
\]

\[
S = \pi \cdot 21 \cdot 20
\]

\[
S = 420 \pi \, \text{{см}}^2
\]

Ответ: Площадь боковой поверхности данного усеченного конуса составляет \( 420 \pi \) квадратных сантиметров (или примерно \( 1320 \) квадратных сантиметров).

Данное решение предоставлено с полным объяснением каждого шага, чтобы было проще понять школьнику.