Какова площадь боковой поверхности и полной поверхности прямой призмы, основанием которой является треугольник

Светлана

35

\(19\). В основе данной прямой призмы лежит треугольник \(АВС\) со сторонами \(АВ = 13\), \(ВС = 14\) и \(АС = 18\). Боковое ребро, указанное как \(АА1\), равно \(19\).

Чтобы найти площадь боковой поверхности прямой призмы, нам нужно найти сумму площадей всех боковых граней. Поскольку призма имеет форму треугольника в основании, у нее есть три боковые грани. Давайте найдем площади этих граней по очереди.

Первая боковая грань - это треугольник АА1В. Данная фигура является прямоугольным треугольником с катетами \(АА1 = 19\) и \(АВ = 13\). Чтобы вычислить площадь, используем формулу площади треугольника:

\[Площадь = \frac{1}{2} \times \text{катет 1} \times \text{катет 2}\]

\[Площадь_1 = \frac{1}{2} \times 19 \times 13 = 123.5\]

Теперь рассмотрим вторую боковую грань - треугольник А1СС1. Также это прямоугольный треугольник с катетами \(А1С1 = 19\) и \(АС = 18\), и его площадь будет равна:

\[Площадь_2 = \frac{1}{2} \times 19 \times 18 = 171\]

Третья боковая грань представляет собой продолжение треугольника АВС внутри призмы. Мы можем считать эту боковую грань прямоугольником со сторонами \(ВС = 14\) и высотой равной высоте треугольника \(АВС\). Для вычисления площади используем формулу:

\[Площадь_3 = \text{сторона} \times \text{высота}\]

\[Площадь_3 = 14 \times Высота\]

Однако для нахождения высоты нам нужно использовать теорему Пифагора. Мы знаем, что стороны треугольника \(АВС\) равны \(13\), \(14\) и \(18\). Пусть \(h\) будет высотой треугольника \(АВС\). Тогда по теореме Пифагора:

\[\text{Гипотенуза}^2 = \text{Катет}_1^2 + \text{Катет}_2^2\]

\[18^2 = 13^2 + h^2\]

\[h^2 = 18^2 - 13^2\]

\[h = \sqrt{18^2 - 13^2}\]

Вычисляя это значение, получим \(h \approx 7.6158\). Теперь, используя это значение, найдем площадь третьей боковой грани:

\[Площадь_3 = 14 \times 7.6158 \approx 106.6204\]

Теперь, чтобы найти площадь боковой поверхности призмы, просто сложим все три площади боковых граней:

\[Площадь_{бок} = Площадь_1 + Площадь_2 + Площадь_3\]

\[Площадь_{бок} = 123.5 + 171 + 106.6204\]

\[Площадь_{бок} \approx 401.1204\]

Таким образом, площадь боковой поверхности прямой призмы составляет примерно \(401.1204\) квадратных единиц.

Теперь перейдем к нахождению площади полной поверхности призмы. Полная поверхность включает в себя основание призмы и боковую поверхность. Площадь основания - это площадь треугольника \(АВС\), которую мы можем вычислить по формуле площади треугольника:

\[Площадь_{осн} = \frac{1}{2} \times \text{сторона}_1 \times \text{сторона}_2 \times \sin(\text{угол})\]

Мы знаем, что стороны треугольника \(АВС\) равны \(13\), \(14\) и \(18\), и угол между сторонами \(АВ\) и \(АС\) является внутренним углом треугольника.

Таким образом, площадь основания равна:

\[Площадь_{осн} = \frac{1}{2} \times 13 \times 14 \times \sin(\text{внутренний угол})\]

Чтобы найти значение синуса внутреннего угла, мы можем использовать теорему косинусов. Для треугольника \(АВС\) смотрим на стороны \(14\), \(13\) и \(18\), и используем формулу теоремы косинусов:

\[\text{сторона}_1^2 = \text{сторона}_2^2 + \text{сторона}_3^2 - 2 \times \text{сторона}_2 \times \text{сторона}_3 \times \cos(\text{внутренний угол})\]

\[14^2 = 18^2 + 13^2 - 2 \times 18 \times 13 \times \cos(\text{внутренний угол})\]

Решая это уравнение, найдем значение \(\cos(\text{внутренний угол}) \approx -0.3333\). Поскольку угол внутри треугольника не может быть отрицательным, мы изменим знак и примем \(\cos(\text{внутренний угол}) \approx 0.3333\).

Теперь мы можем продолжить вычисление площади основания:

\[Площадь_{осн} = \frac{1}{2} \times 13 \times 14 \times 0.3333 \approx 76.6114\]

Наконец, чтобы найти площадь полной поверхности призмы, сложим площадь основания и площадь боковой поверхности:

\[Площадь_{полн} = Площадь_{осн} + Площадь_{бок}\]

\[Площадь_{полн} = 76.6114 + 401.1204\]

\[Площадь_{полн} \approx 477.7318\]

Таким образом, площадь полной поверхности прямой призмы составляет примерно \(477.7318\) квадратных единиц.