Какова площадь боковой поверхности и полной поверхности прямой призмы, основанием которой является треугольник

  • 67
Какова площадь боковой поверхности и полной поверхности прямой призмы, основанием которой является треугольник АВС со сторонами АВ-13, ВС-14, АС-18, и боковое ребро АА1 равно 28?
Светлана
35
19. В основе данной прямой призмы лежит треугольник АВС со сторонами АВ=13, ВС=14 и АС=18. Боковое ребро, указанное как АА1, равно 19.

Чтобы найти площадь боковой поверхности прямой призмы, нам нужно найти сумму площадей всех боковых граней. Поскольку призма имеет форму треугольника в основании, у нее есть три боковые грани. Давайте найдем площади этих граней по очереди.

Первая боковая грань - это треугольник АА1В. Данная фигура является прямоугольным треугольником с катетами АА1=19 и АВ=13. Чтобы вычислить площадь, используем формулу площади треугольника:

Площадь=12×катет 1×катет 2

Площадь1=12×19×13=123.5

Теперь рассмотрим вторую боковую грань - треугольник А1СС1. Также это прямоугольный треугольник с катетами А1С1=19 и АС=18, и его площадь будет равна:

Площадь2=12×19×18=171

Третья боковая грань представляет собой продолжение треугольника АВС внутри призмы. Мы можем считать эту боковую грань прямоугольником со сторонами ВС=14 и высотой равной высоте треугольника АВС. Для вычисления площади используем формулу:

Площадь3=сторона×высота

Площадь3=14×Высота

Однако для нахождения высоты нам нужно использовать теорему Пифагора. Мы знаем, что стороны треугольника АВС равны 13, 14 и 18. Пусть h будет высотой треугольника АВС. Тогда по теореме Пифагора:

Гипотенуза2=Катет12+Катет22

182=132+h2

h2=182132

h=182132

Вычисляя это значение, получим h7.6158. Теперь, используя это значение, найдем площадь третьей боковой грани:

Площадь3=14×7.6158106.6204

Теперь, чтобы найти площадь боковой поверхности призмы, просто сложим все три площади боковых граней:

Площадьбок=Площадь1+Площадь2+Площадь3

Площадьбок=123.5+171+106.6204

Площадьбок401.1204

Таким образом, площадь боковой поверхности прямой призмы составляет примерно 401.1204 квадратных единиц.

Теперь перейдем к нахождению площади полной поверхности призмы. Полная поверхность включает в себя основание призмы и боковую поверхность. Площадь основания - это площадь треугольника АВС, которую мы можем вычислить по формуле площади треугольника:

Площадьосн=12×сторона1×сторона2×sin(угол)

Мы знаем, что стороны треугольника АВС равны 13, 14 и 18, и угол между сторонами АВ и АС является внутренним углом треугольника.

Таким образом, площадь основания равна:

Площадьосн=12×13×14×sin(внутренний угол)

Чтобы найти значение синуса внутреннего угла, мы можем использовать теорему косинусов. Для треугольника АВС смотрим на стороны 14, 13 и 18, и используем формулу теоремы косинусов:

сторона12=сторона22+сторона322×сторона2×сторона3×cos(внутренний угол)

142=182+1322×18×13×cos(внутренний угол)

Решая это уравнение, найдем значение cos(внутренний угол)0.3333. Поскольку угол внутри треугольника не может быть отрицательным, мы изменим знак и примем cos(внутренний угол)0.3333.

Теперь мы можем продолжить вычисление площади основания:

Площадьосн=12×13×14×0.333376.6114

Наконец, чтобы найти площадь полной поверхности призмы, сложим площадь основания и площадь боковой поверхности:

Площадьполн=Площадьосн+Площадьбок

Площадьполн=76.6114+401.1204

Площадьполн477.7318

Таким образом, площадь полной поверхности прямой призмы составляет примерно 477.7318 квадратных единиц.