Какова площадь боковой поверхности пирамиды, отсеченной плоскостью, проведенной через середину ребра KN, параллельно

Yuliya

7

Чтобы решить данную задачу и найти площадь боковой поверхности пирамиды, отсеченной плоскостью, проведенной через середину ребра KN, параллельно плоскости основания, мы можем использовать геометрические свойства пирамид и треугольников.

Шаг 1: Рассмотрим треугольник KLN.
Так как ребро KL перпендикулярно к плоскости основания и пирамида KLMN имеет основание треугольник LMN, треугольник KNL будет прямым треугольником.
По условию, ребро KL равно 10 и ребро KN образует с плоскостью основания угол 45 градусов. Мы можем использовать это знание, чтобы найти длину ребра LN, используя тригонометрические соотношения.
Обозначим угол между ребром KN и LN как α.
Тогда, равнобедренный треугольник KLN будет иметь следующие соотношения:
\(\cos(\alpha) = \sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}\)
Решив уравнение, получим:
\(\alpha = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \approx 35.26^\circ\)
Таким образом, угол KNL равен \(180^\circ - 90^\circ - 35.26^\circ = 54.74^\circ\).

Шаг 2: Теперь рассмотрим треугольник KLM.
Угол M равен 90 градусов, угол N равен 30 градусов, а угол KLN равен 54.74 градусов.
Мы можем использовать свойства треугольника KLM, чтобы найти длины сторон и площадь треугольника:
Сначала найдем длину стороны KM:
\(\sin(30^\circ) = \frac{KM}{KL}\)
\(\frac{1}{2} = \frac{KM}{10}\)
\(KM = 5\).
Затем, найдем длину стороны LM с использованием теоремы Пифагора:
\(\cos(30^\circ) = \frac{LM}{KL}\).
\(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{LM}{10}\),
\(LM = 5\sqrt{3}\).
Площадь треугольника KLM:
\(S_{KLM} = \frac{1}{2} \times KL \times LM\),
\(S_{KLM} = \frac{1}{2} \times 10 \times 5 \sqrt{3} = 25\sqrt{3}\).

Шаг 3: Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности пирамиды.
Поскольку плоскость, проведенная через середину ребра KN, параллельна плоскости основания, отсекает пирамиду так, что получается пирамида KLM.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей треугольников KLN и KLM.

\(S_{бок} = S_{KLN} + S_{KLM}\).
Мы уже нашли площадь треугольника KLM равной \(25\sqrt{3}\).
Чтобы найти площадь треугольника KLN, мы можем использовать формулу для площади треугольника, основанную на длине стороны и высоте:
\(S_{KLN} = \frac{1}{2} \times LN \times KL\).
Мы уже знаем, что \(LN = KM = 5\) и \(KL = 10\).
Подставив эти значения, получим:
\(S_{KLN} = \frac{1}{2} \times 5 \times 10 = 25\).

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна:
\(S_{бок} = S_{KLN} + S_{KLM} = 25 + 25\sqrt{3} \approx 25 + 43.30 \approx 68.30\).

Ответ: Площадь боковой поверхности отсеченной плоскостью пирамиды, проведенной через середину ребра KN, параллельно плоскости основания, равна приблизительно 68.30.