Какова площадь боковой поверхности пирамиды с прямоугольным треугольником основания, у которого один катет равен

Сэр

16

Чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды, нужно вычислить площадь прямоугольного треугольника основания и затем умножить эту площадь на общую длину боковых ребер. Давайте решим эту задачу по шагам.

Шаг 1: Найдем площадь прямоугольного треугольника основания.

У нас есть прямоугольный треугольник с одним катетом \(4\sqrt{3}\) см и углом при этом катете равным 60 градусам. Углы в треугольнике всегда суммируются до 180 градусов, поэтому оставшийся угол также будет равен 90 градусам.

Чтобы найти площадь такого треугольника, мы можем использовать формулу для площади треугольника:

\[Площадь треугольника = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\]

В данном случае, один из катетов является основанием, а другой катет является высотой, поскольку он перпендикулярен к основанию треугольника.

Основание треугольника равно \(4\sqrt{3}\) см, а высота равна \(4\sqrt{3}\) см. Подставим эти значения в формулу:

\[Площадь треугольника = \frac{1}{2} \times (4\sqrt{3}) \times (4\sqrt{3})\]

Упростим это выражение:

\[Площадь треугольника = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 \times 4\]

\[Площадь треугольника = 24 \text{ см}^2\]

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника основания равна 24 квадратным сантиметрам.

Шаг 2: Найдем общую длину боковых ребер.

Мы знаем, что все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45 градусов. Это означает, что угол между плоскостью основания и боковым ребром равен 45 градусам.

Следовательно, у нас есть прямоугольный треугольник со сторонами \(4\sqrt{3}\) см, \(4\sqrt{3}\) см и \(4\sqrt{2}\) см (по теореме Пифагора). Мы можем найти длину бокового ребра, используя формулу для длины гипотенузы прямоугольного треугольника:

\[Длина гипотенузы = \sqrt{{\text{катет}^2 + \text{катет}^2}}\]

\[Длина гипотенузы = \sqrt{{(4\sqrt{3})^2 + (4\sqrt{3})^2}}\]

Упростим это выражение:

\[Длина гипотенузы = \sqrt{{48+48}}\]

\[Длина гипотенузы = \sqrt{{96}}\]

\[Длина гипотенузы = 4\sqrt{6}\]

Таким образом, длина бокового ребра пирамиды равна \(4\sqrt{6}\) см.

Шаг 3: Найдем площадь боковой поверхности пирамиды.

Мы можем найти площадь боковой поверхности пирамиды, умножив площадь прямоугольного треугольника основания на общую длину боковых ребер:

\[Площадь боковой поверхности = \text{площадь прямоугольного треугольника основания} \times \text{длина бокового ребра}\]

\[Площадь боковой поверхности = 24 \text{ см}^2 \times 4\sqrt{6} \text{ см}\]

\[Площадь боковой поверхности = 96\sqrt{6} \text{ см}^2\]

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна \(96\sqrt{6}\) квадратных сантиметров.