Какова площадь боковой поверхности прямого кругового конуса с высотой равной 7 и площадью основания, равной 36/пи?

Ярослава

65

Хорошо, чтобы найти площадь боковой поверхности прямого кругового конуса, нужно использовать формулу:

\[ S = \pi \cdot r \cdot l \]

где \( S \) - площадь боковой поверхности, \( \pi \) - число пи (приближенно 3,14), \( r \) - радиус основания конуса, \( l \) - образующая конуса.

В данной задаче мы знаем высоту конуса равную 7 и площадь основания равную \(\frac{36}{\pi}\). Нам нужно найти площадь боковой поверхности конуса, поэтому сначала нужно найти радиус основания.

Площадь основания конуса можно найти по формуле:

\[ S_{\text{осн.}} = \pi \cdot r^2\]

где \( S_{\text{осн.}} \) - площадь основания, \( r \) - радиус основания.

Дано \( S_{\text{осн.}} = \frac{36}{\pi}\), поэтому можем записать:

\(\frac{36}{\pi} = \pi \cdot r^2\)

Чтобы найти радиус, нужно избавиться от квадрата. Для этого умножим обе части уравнения на \(\frac{\pi}{\pi}\):

\(\frac{36}{\pi} \cdot \frac{\pi}{\pi} = \pi \cdot r^2 \cdot \frac{\pi}{\pi}\)

После упрощения получим:

\(36 = \pi \cdot r^2\)

Теперь найдём радиус конуса, извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения:

\(r^2 = \frac{36}{\pi}\)

\(r = \sqrt{\frac{36}{\pi}}\)

Таким образом, радиус основания конуса равен \(\sqrt{\frac{36}{\pi}}\).

Далее нам необходимо найти образующую конуса \(l\). По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом и образующей конуса, выполняется следующее соотношение:

\(l^2 = r^2 + h^2\)

Подставляем известные значения:

\(l^2 = \left(\sqrt{\frac{36}{\pi}}\right)^2 + 7^2\)

Упрощаем:

\(l^2 = \frac{36}{\pi} + 49\)

Теперь можно найти образующую, извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения:

\(l = \sqrt{\frac{36}{\pi} + 49}\)

Таким образом, образующая конуса равна \(\sqrt{\frac{36}{\pi} + 49}\).

Наконец, можем найти площадь боковой поверхности конуса по формуле:

\(S = \pi \cdot r \cdot l\)

\(S = \pi \cdot \sqrt{\frac{36}{\pi}} \cdot \sqrt{\frac{36}{\pi} + 49}\)

Упрощаем выражение:

\[ S = \sqrt{\frac{36}{\pi}} \cdot \sqrt{\frac{36}{\pi} + 49} \cdot \pi \]

Таким образом, площадь боковой поверхности прямого кругового конуса с высотой 7 и площадью основания \(\frac{36}{\pi}\) равна \(\sqrt{\frac{36}{\pi}} \cdot \sqrt{\frac{36}{\pi} + 49} \cdot \pi\).