Каков радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC, если длина стороны BC равна 180 и угол A равен 30⁰?

Лапка

38

Чтобы найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC, мы можем использовать формулу, связывающую радиус окружности и стороны треугольника. Эта формула называется "Закон синусов". Позвольте мне пояснить этот закон.

Закон синусов гласит, что отношение синуса угла к соответствующей стороне треугольника равно одному и тому же отношению для всех трех углов и их сторон. Формально записывается так:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]

где a, b и c - стороны треугольника, A, B и C - соответствующие им углы.

В нашей задаче, у нас дано, что длина стороны BC (то есть стороны a) равна 180, а угол A равен 30 градусам. Давайте найдем радиус окружности, применив Закон синусов.

Мы знаем, что угол ABC является противолежащим углом к стороне BC. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, мы можем найти угол ABC:

\(C = 180 - A - B = 180 - 30 - 90 = 60\) градусов.

Теперь у нас есть значения стороны a и угла A, которые мы будем использовать в Законе синусов:

\(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\)

Мы знаем, что сторона BC равна 180, и угол A равен 30 градусам. Подставим значения в формулу:

\(\frac{180}{\sin 30} = \frac{b}{\sin 90} = \frac{c}{\sin 60}\)

После сокращения на противоположных сторонах получим:

\(\frac{180}{\frac{1}{2}} = \frac{b}{1} = \frac{c}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)

Это приводит нас к следующим равенствам:

\(360 = 2b\) и \(c = \frac{180\sqrt{3}}{2}\)

Теперь, чтобы найти радиус окружности, нам нужно найти сторону b. Но мы можем заметить, что сторона b - это диаметр окружности, так как она проходит через центр окружности. Таким образом, радиус окружности равен половине длины стороны b.

\(r = \frac{b}{2}\)

Теперь мы можем найти радиус окружности, используя значение стороны b:

\(r = \frac{360}{2} = 180\)

Итак, радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC, равен 180.