Какова площадь боковой поверхности прямоугольной пирамиды с углом 60° между боковой стороной и плоскостью основания

Космический_Астроном

23

Для решения этой задачи нам необходимо использовать геометрические знания о пирамидах с прямоугольным основанием.

Пусть стороны основания прямоугольной пирамиды равны \(a\) и \(b\). Так как угол между боковой стороной и плоскостью основания равен 60°, то получаем прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза равна боковой стороне пирамиды, а один из катетов равен половине основания.

Таким образом, мы имеем следующую схему:

\[
\begin{array}{ccc}
& \frac{a}{2} & \\
& \uparrow & \\
\left. \begin{array}{c}
b \\
\end{array} \right\} & \longrightarrow & \frac{a}{2} \\
& \downarrow & \\
& \frac{a}{2} & \\
\end{array}
\]

Мы знаем, что расстояние от центра основания до боковой стороны равно \(\frac{a}{2}\). Так как треугольник прямоугольный и угол при основании равен 60°, то противоположный катет составляет 60° с гипотенузой. Поэтому катеты равны половине гипотенузы.

Мы можем применить теорему Пифагора для нахождения гипотенузы \(c\):

\[
c^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{2}
\]

Теперь мы можем найти высоту \(h\) пирамиды, используя тригонометрические соотношения для прямоугольного треугольника:

\[
\sin(60°) = \frac{h}{c} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{\sqrt{\frac{a^2}{2}}} \Rightarrow h = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{a^2}{2}}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{2}
\]

Теперь, когда у нас есть значение высоты \(h\), мы можем найти площадь боковой поверхности пирамиды. Площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту, то есть:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot (2a + 2b) \cdot h = (a + b) \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a(a+b)\sqrt{3}}{2}
\]

Таким образом, площадь боковой поверхности прямоугольной пирамиды с углом 60° между боковой стороной и плоскостью основания равна \(\frac{a(a+b)\sqrt{3}}{2}\).