Какова площадь боковой поверхности у правильной усеченной треугольной пирамиды, если апофема равна 8см, а сумма длин

Ивановна_4540

14

Чтобы решить данную задачу, мы будем использовать некоторые геометрические формулы и свойства треугольных пирамид. Давайте начнем!

Правильная треугольная пирамида - это пирамида, у которой основание является равносторонним треугольником, а боковые грани являются равнобедренными треугольниками. Усеченная треугольная пирамида - это пирамида, у которой вершина пирамиды находится выше основания и основание верхней пирамиды параллельно основанию нижней пирамиды.

В данной задаче нам дано, что апофема (расстояние от вершины пирамиды до середины основания) равна 8 см, а сумма длин всех ребер оснований равна 24 см.

Для начала найдем длину стороны основания. Поскольку основание треугольной пирамиды является равносторонним треугольником, все его стороны равны между собой.

Длина стороны основания (a) может быть найдена как сумма длин всех ребер основания, разделенная на 3, так как у нас треугольник равносторонний:

\[a = \frac{{\text{{сумма длин ребер основания}}}}{3} = \frac{{24 \, \text{{см}}}}{3} = 8 \, \text{{см}}.\]

Теперь найдем высоту пирамиды. Высота пирамиды (h) может быть найдена с помощью теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного половиной стороны основания (a/2), апофемой (r) и высотой (h):

\[r^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2.\]

Мы знаем, что апофема равна 8 см, поэтому можем записать уравнение следующим образом:

\[8^2 = h^2 + \left(\frac{8}{2}\right)^2.\]

\[64 = h^2 + 16.\]

\[h^2 = 64 - 16 = 48.\]

\[h = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \, \text{{см}}.\]

Теперь, чтобы найти площадь боковой поверхности усеченной треугольной пирамиды, мы должны найти сумму площадей всех боковых поверхностей.

Усеченная треугольная пирамида состоит из двух равнобедренных треугольников и треугольника с основанием, равным основанию большей пирамиды и вершиной в точке, соответствующей высоте меньшей пирамиды.

Площадь одной боковой поверхности равнобедренного треугольника можно найти, зная длину основания (a) и высоту треугольника (h):

\[S_{\text{{треугольника}}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h.\]

Так как у нас две равнобедренных треугольных боковых поверхности, площадь их обоих будет:

\[2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot a \cdot h\right) = a \cdot h.\]

Площадь боковой поверхности треугольника с основанием, равным основанию большей пирамиды, можно найти, зная длину основания (a) большей пирамиды и высоту (h) меньшей пирамиды:

\[S_{\text{{треугольника}}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h.\]

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности усеченной треугольной пирамиды, сложив площади всех боковых поверхностей:

\[S_{\text{{боковая}}} = a \cdot h + a \cdot h = 2a \cdot h.\]

Подставим найденные значения:

\[S_{\text{{боковая}}} = 2 \cdot 8 \, \text{{см}} \cdot 4\sqrt{3} \, \text{{см}} = 16\sqrt{3} \, \text{{см}}^2.\]

Итак, площадь боковой поверхности усеченной треугольной пирамиды равна \(16\sqrt{3} \, \text{{см}}^2\).