Какова высота прямой треугольной призмы, площадь поверхности которой равна площади поверхности куба со стороной

Сквозь_Пыль

61

Для начала, давайте проясним, что такое прямая треугольная призма и куб. Прямая треугольная призма - это геометрическое тело, у которого два основания являются прямоугольными треугольниками, а все боковые грани - прямоугольники. Куб - это особый вид параллелепипеда, у которого все шесть сторон равны.

Теперь рассмотрим площадь поверхности прямой треугольной призмы. Площадь поверхности призмы можно найти, сложив площади всех ее граней. Для прямой треугольной призмы у нас есть два основания и три боковые грани. Площадь каждого основания равна половине произведения длин его катетов, так как катеты образуют прямоугольный треугольник. Площадь каждой боковой грани равна произведению периметра основания и высоты призмы.

Теперь нам нужно вычислить площадь поверхности куба со стороной \(a\). Площадь поверхности куба равна шести квадратам его сторон. Таким образом, площадь поверхности куба равна \(6a^2\).

Данное условие гласит, что площадь поверхности прямой треугольной призмы равна площади поверхности куба. Поэтому у нас есть уравнение:

\[2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot ab + \frac{1}{2} \cdot ac + \frac{1}{2} \cdot bc) + 3 \cdot ab = 6a^2\]

Давайте разберем его поэтапно:

1. Сначала упростим выражение внутри скобок:
\[ab + ac + bc + 3ab = 6a^2\]

2. Объединим подобные члены:
\[4ab + ac + bc = 6a^2\]

3. Поместим все переменные с буквой \(a\) на одну сторону, а все остальные переменные на другую:
\[6a^2 - 4ab = ac + bc\]

4. Факторизуем обе стороны уравнения:
\[2a(3a - 2b) = c(a + b)\]

Теперь мы получили уравнение, в котором можно выразить высоту призмы. Для этого поделим обе части уравнения на \(a+b\):

\[2a(3a - 2b) = c(a + b) \Rightarrow 2a(3a - 2b)/(a + b) = c\]

Таким образом, высота прямой треугольной призмы равна \(\frac{2a(3a - 2b)}{a + b}\). Вы можете вставить значения сторон \(a\) и \(b\) для получения конкретного численного ответа.