Какова площадь боковой поверхности усеченной пирамиды с основаниями длиной 4 и 8 см, где угол между боковым ребром

Андреевна

42

Ок, давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Найдем высоту усеченной пирамиды.
Высота усеченной пирамиды может быть найдена с использованием теоремы Пифагора. Мы можем рассмотреть треугольник, состоящий из верхней плоскости основания пирамиды, вертикальной линии, опущенной из вершины пирамиды до основания, и бокового ребра пирамиды. Этот треугольник будет прямоугольным, поскольку прямой угол находится между боковым ребром и большим основанием (которые являются сторонами прямоугольника).

По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. В данном случае, катетами будут длины оснований пирамиды (4 см и 8 см), а гипотенузой будет высота.

Используя формулу Пифагора \(c^2 = a^2 + b^2\), мы можем найти квадрат высоты:
\[h^2 = 8^2 - 4^2\]
\[h^2 = 64 - 16\]
\[h^2 = 48\]

Чтобы найти высоту, возьмем квадратный корень из обеих сторон:
\[h = \sqrt{48}\]

Шаг 2: Найдем площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.
Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды можно найти, используя формулу:
\[S = \frac{1}{2}(a + b) \times l\]
где \(a\) и \(b\) - длины оснований пирамиды, а \(l\) - боковое ребро пирамиды.

В нашем случае, \(a = 4\) см, \(b = 8\) см и мы должны найти \(l\). Чтобы найти \(l\), мы можем использовать косинус угла между боковым ребром и большим основанием.

Косинус угла можно найти, используя формулу:
\[\cos(\theta) = \frac{a}{l}\]
где \(\theta\) - угол, \(a\) - длина одного из оснований пирамиды, а \(l\) - длина бокового ребра пирамиды.

В нашем случае, \(\theta = 60^\circ\) и \(a = 4\) см, поэтому мы можем переставить формулу, чтобы найти \(l\):
\[l = \frac{a}{\cos(\theta)}\]
\[l = \frac{4}{\cos(60^\circ)}\]

Это даст нам длину бокового ребра \(l\). Мы можем подставить это значение в формулу для площади боковой поверхности и рассчитать ее.

\[S = \frac{1}{2}(4 + 8) \times \frac{4}{\cos(60^\circ)}\]
\[S = \frac{1}{2}(12) \times \frac{4}{\frac{1}{2}}\]
\[S = 6 \times 8\]
\[S = 48\]

Таким образом, площадь боковой поверхности усеченной пирамиды составляет 48 квадратных сантиметров.

Шаг 3: Найдем площадь боковой поверхности полной пирамиды.
Площадь боковой поверхности полной пирамиды, из которой была образована усеченная пирамида, может быть найдена, используя аналогичную формулу для площади боковой поверхности усеченной пирамиды.
В нашем случае, \(a = 8\) см (большее основание полной пирамиды), \(b = 4\) см (меньшее основание полной пирамиды) и \(l = 8\) см (боковое ребро полной пирамиды).
Подставим эти значения в формулу:
\[S_{\text{полн. пирамиды}} = \frac{1}{2}(8 + 4) \times 8\]
\[S_{\text{полн. пирамиды}} = \frac{1}{2}(12) \times 8\]
\[S_{\text{полн. пирамиды}} = 6 \times 8\]
\[S_{\text{полн. пирамиды}} = 48\]

Таким образом, площадь боковой поверхности полной пирамиды также составляет 48 квадратных сантиметров.

Ответ: Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды составляет 48 квадратных сантиметров. Она такая же, как и площадь боковой поверхности полной пирамиды, из которой она образована.