Какова площадь трапеции AECB, если площадь параллелограмма ABCD равна 101 и точка Е является серединой стороны

Chernaya_Meduza

23

Для решения данной задачи, давайте воспользуемся свойством трапеции, которое гласит, что площадь трапеции равна полупроизведению суммы её оснований на высоту, опущенную на одно из оснований.

Дано, что точка Е является серединой стороны AB. Это означает, что отрезок АЕ равен отрезку ЕB.

Мы также знаем, что площадь параллелограмма ABCD равна 101.

Так как ABCD - параллелограмм, то площадь ABCD равна произведению длины одной из его сторон на высоту, опущенную на эту сторону. Обозначим длину стороны AB (которая является основанием трапеции) через х.

Тогда площадь параллелограмма ABCD равна \(101 = x \cdot h\), где h - высота опущенная на сторону AB.

Так как точка Е является серединой стороны AB, то её высота равна высоте трапеции. Обозначим эту высоту через h.

Теперь у нас есть две информации:

1) \(AE = EB\)

2) \(101 = x \cdot h\)

Так как AE равно EB, это означает, что сумма оснований трапеции равна удвоенной длине стороны AB.

\(AB = AE + EB = AE + AE = 2 \cdot AE\)

Таким образом, имеем:

\(101 = x \cdot h\)

\(AB = 2 \cdot AE\)

Заменим AB в первом уравнении:

\(101 = (2 \cdot AE) \cdot h\)

Упростим:

\(101 = 2 \cdot AE \cdot h\)

Теперь нам нужно выразить площадь трапеции AECB через AE и h. Для этого вспомним, что площадь трапеции равна полупроизведению суммы её оснований (AB и EC) на высоту (h).

Поскольку мы знаем, что AB = 2 * AE, мы можем записать:

\(S = \frac{{(AB + EC) \cdot h}}{2} = \frac{{(2 \cdot AE + EC) \cdot h}}{2}\)

Так как EC = AE (так как точка E является серединой стороны CB), мы можем заменить EC на AE в формуле:

\(S = \frac{{(2 \cdot AE + AE) \cdot h}}{2} = \frac{{3 \cdot AE \cdot h}}{2}\)

Таким образом, площадь трапеции AECB равна \(\frac{{3 \cdot AE \cdot h}}{2}\).

Теперь у нас осталось только выразить AE и h через известные данные.

Для этого мы можем использовать тот факт, что AE равно половине длины стороны AB, и тот факт, что h - это высота трапеции, опущенная на сторону AB.

Таким образом, AE = \(\frac{AB}{2}\) и h - это высота параллелограмма ABCD, которая уже известна и равна \(\frac{101}{AB}\).

Заменим AE и h в формуле для площади трапеции:

\(S = \frac{{3 \cdot AE \cdot h}}{2} = \frac{{3 \cdot (\frac{AB}{2}) \cdot (\frac{101}{AB})}}{2} = \frac{{3 \cdot 101}}{4}\)

Итак, площадь трапеции AECB равна \(\frac{{3 \cdot 101}}{4}\), что составляет 75,75.

Таким образом, площадь трапеции AECB равна 75,75.