Какова площадь большего треугольника, рассматривая такие треугольники, где отношение соответствующих сторон составляет

Vladimirovna

68

Давайте решим данную задачу по шагам.

1. Введем обозначения: пусть основание большего треугольника равно \(a\) и высота, опущенная на это основание, равна \(h\). Тогда площадь большего треугольника можно выразить через формулу площади треугольника: \(S_1 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\).

2. Если отношение соответствующих сторон составляет 7:3, то мы можем записать соотношение для других сторон треугольников: пусть стороны меньшего треугольника равны \(7x\) и \(3x\), а стороны большего треугольника равны \(7y\) и \(3y\) соответственно, где \(x\) и \(y\) - некоторые неизвестные величины.

3. Зная формулу площади треугольника, площадь меньшего треугольника можно выразить так: \(S_2 = \frac{1}{2} \cdot 7x \cdot 3x = 10.5x^2\).

4. Также, по формуле площади треугольника, площадь большего треугольника будет \(S_1 = \frac{1}{2} \cdot 7y \cdot 3y = 10.5y^2\).

5. Из условия задачи известно, что разность площадей треугольников равна 80 см\(^2\): \(S_1 - S_2 = 10.5y^2 - 10.5x^2 = 80\).

6. Полученное уравнение \(10.5y^2 - 10.5x^2 = 80\) является квадратным уравнением относительно неизвестных \(x\) и \(y\).

7. Решим это уравнение, приведя его к стандартному виду и применяя квадратное уравнение: \(10.5(y^2 - x^2) = 80\).

8. Теперь разделим обе части уравнения на 10.5: \(y^2 - x^2 = \frac{80}{10.5}\).

9. Получим окончательное уравнение: \(y^2 - x^2 = \frac{160}{21}\).

10. Как мы видим, данное уравнение является разностью квадратов: \((y-x)(y+x) = \frac{160}{21}\).

11. Теперь мы можем применить формулу разности квадратов и получить: \((y-x)(y+x) = \frac{160}{21}\) \(\Rightarrow\) \((y-x)\left(y+x\right) = \frac{4\cdot 40}{3\cdot 7}\).

12. Заметим, что у нас есть равенство двух произведений. Приведем выражение в скобках к общему знаменателю, чтобы упростить дальнейшее вычисление: \(\frac{192u}{21}\), где \(u = y-x\).

13. Теперь мы можем записать выражение исходного уравнения в виде \(\frac{192u}{21} = \frac{4\cdot 40}{3\cdot 7}\).

14. Упростим это уравнение: \(192u = \frac{160}{\frac{3}{4}}\).

15. Перемножим обе части уравнения на \(\frac{4}{3}\), чтобы избавиться от дроби на правой стороне: \(u = \frac{192 \cdot 4 \cdot 4}{21 \cdot 3}\).

16. Получим значение \(u\): \(u = \frac{256}{7}\).

17. Теперь, используя значение \(u\), найдем \(y\) и \(x\): \(y-x = \frac{256}{7}\) и \(y+x = \frac{160}{\frac{3}{4}}\).

18. Решим данную систему уравнений методом подстановки. Сложим уравнения: \((y-x) + (y+x) = \frac{256}{7}+\frac{160}{\frac{3}{4}}\).

19. Упростим полученное выражение: \(2y = \frac{256}{7} + \frac{160 \cdot 4}{3}\).

20. Найдем общий знаменатель: \(2y = \frac{256 \cdot 3}{7 \cdot 3} + \frac{160 \cdot 4 \cdot 7}{3 \cdot 7}\).

21. Упростим выражение: \(2y = \frac{768}{21} + \frac{4480}{21}\).

22. Сложим числители: \(2y = \frac{768 + 4480}{21}\).

23. Сократим числитель: \(2y = \frac{5248}{21}\).

24. Найдем \(y\): \(y = \frac{5248}{2\cdot 21}\).

25. Вычислим значение \(y\): \(y = \frac{2624}{21}\).

26. Теперь мы можем найти значение \(x\): \(x = y - \frac{256}{7}\).

27. Вычислим значение \(x\): \(x = \frac{2624}{21} - \frac{256}{7}\).

28. Выразим общий знаменатель: \(x = \frac{2624}{21} - \frac{256 \cdot 3}{7 \cdot 3}\).

29. Упростим выражение: \(x = \frac{2624}{21} - \frac{768}{21}\).

30. Вычислим разность: \(x = \frac{1856}{21}\).

31. Сократим полученное значение: \(x = \frac{88}{1}\).

32. Таким образом, мы получили значения сторон большего треугольника: \(a = 7y = 7 \cdot \frac{2624}{21} = \frac{18368}{21}\) и \(h = 3x = 3 \cdot \frac{88}{1} = 264\).

33. Теперь, зная значения \(a\) и \(h\), можем найти площадь большего треугольника: \(S_1 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{18368}{21} \cdot 264\).

34. Вычислим это выражение: \(S_1 = \frac{18368 \cdot 264}{42} = \frac{4855872}{42}\).

35. Упростим полученное значение: \(S_1 = \frac{115897}{3}\).

36. Итак, площадь большего треугольника равна \(\frac{115897}{3}\) квадратных сантиметров.

Вот и все! Мы подробно рассмотрели данную задачу и получили ответ с пояснениями и пошаговым решением, чтобы он был понятен школьнику. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.