Какова площадь фигур, ограниченных линиями y=-(2/9)x^2+(4/3)x?

Роман

50

Чтобы найти площадь фигур, ограниченных данной кривой, нам необходимо использовать интеграл. В данном случае, кривая описана в виде функции \(y = -\frac{2}{9}x^2 + \frac{4}{3}x\). Для начала, мы должны найти точки пересечения этой кривой с осью x.

Поскольку уравнение квадратное, нам понадобится решить его, приравнивая уравнение \(y\) к нулю.

\[-\frac{2}{9}x^2 + \frac{4}{3}x = 0\]

Сначала, домножим оба выражения на 9, чтобы избавиться от дробей:

\[-2x^2 + 12x = 0\]

Теперь, вынесем общий множитель \(x\) из обоих членов:

\[x(-2x + 12) = 0\]

Таким образом, у нас есть два возможных значения \(x\): \(x = 0\) и \(x = 6\). Теперь, если мы используем эти значения в исходном уравнении, мы можем определить соответствующие значения \(y\):

Когда \(x = 0\):

\[y = -\frac{2}{9}(0)^2 + \frac{4}{3}(0) = 0\]

Таким образом, одна точка пересечения с осью x - это точка (0,0).

Когда \(x = 6\):

\[y = -\frac{2}{9}(6)^2 + \frac{4}{3}(6) = -\frac{72}{9} + \frac{24}{3} = -8 + 8 = 0\]

Таким образом, вторая точка пересечения с осью x - это точка (6,0).

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной данной кривой, мы будем использовать определенный интеграл от x = 0 до x = 6.

\[S = \int_{0}^{6} \left(-\frac{2}{9}x^2 + \frac{4}{3}x\right)dx\]

Вычислим интеграл:

\[S = \left[-\frac{2}{27}x^3 + \frac{2}{3}x^2\right]_0^6\]

\[S = \left(-\frac{2}{27}(6)^3 + \frac{2}{3}(6)^2\right) - \left(-\frac{2}{27}(0)^3 + \frac{2}{3}(0)^2\right)\]

\[S = \left(-\frac{2}{27}(216) + \frac{2}{3}(36)\right) - \left(0 + 0\right)\]

\[S = \left(-\frac{432}{27} + \frac{72}{3}\right) - 0\]

\[S = \left(-\frac{16}{1} + \frac{72}{1}\right) - 0\]

\[S = \frac{72}{1} - \frac{16}{1} = \frac{56}{1} = 56\]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривой \(y = -\frac{2}{9}x^2 + \frac{4}{3}x\) и осями x, равна 56 квадратным единицам.