Какова площадь фигур, ограниченных линиями y=-(2/9)x^2+(4/3)x?

Роман

50

Чтобы найти площадь фигур, ограниченных данной кривой, нам необходимо использовать интеграл. В данном случае, кривая описана в виде функции $y=-\frac{2}{9}{x}^2+\frac{4}{3}x$. Для начала, мы должны найти точки пересечения этой кривой с осью x.

Поскольку уравнение квадратное, нам понадобится решить его, приравнивая уравнение $y$ к нулю.

$$-\frac{2}{9}{x}^2+\frac{4}{3}x=0$$

Сначала, домножим оба выражения на 9, чтобы избавиться от дробей:

$$-2x^2+12x=0$$

Теперь, вынесем общий множитель $x$ из обоих членов:

$$x(-2x+12)=0$$

Таким образом, у нас есть два возможных значения $x$: $x=0$ и $x=6$. Теперь, если мы используем эти значения в исходном уравнении, мы можем определить соответствующие значения $y$:

Когда $x=0$:

$$y=-\frac{2}{9}(0{)}^2+\frac{4}{3}(0)=0$$

Таким образом, одна точка пересечения с осью x - это точка (0,0).

Когда $x=6$:

$$y=-\frac{2}{9}(6{)}^2+\frac{4}{3}(6)=-\frac{72}{9}+\frac{24}{3}=-8+8=0$$

Таким образом, вторая точка пересечения с осью x - это точка (6,0).

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной данной кривой, мы будем использовать определенный интеграл от x = 0 до x = 6.

$$S={\int }_0^6(-\frac{2}{9}{x}^2+\frac{4}{3}x)dx$$

Вычислим интеграл:

$$S={[-\frac{2}{27}{x}^3+\frac{2}{3}{x}^2]}_0^6$$

$$S=(-\frac{2}{27}(6{)}^3+\frac{2}{3}(6{)}^2)-(-\frac{2}{27}(0{)}^3+\frac{2}{3}(0{)}^2)$$

$$S=(-\frac{2}{27}(216)+\frac{2}{3}(36))-(0+0)$$

$$S=(-\frac{432}{27}+\frac{72}{3})-0$$

$$S=(-\frac{16}{1}+\frac{72}{1})-0$$

$$S=\frac{72}{1}-\frac{16}{1}=\frac{56}{1}=56$$

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривой $y=-\frac{2}{9}{x}^2+\frac{4}{3}x$ и осями x, равна 56 квадратным единицам.