Какие целочисленные пары (х; у) удовлетворяют уравнению х²-ху-2у²=7?

Kaplya

42

Чтобы найти целочисленные пары (х; у), удовлетворяющие уравнению \(x^2 - xy - 2y^2 = 7\), мы можем использовать метод подстановки и факторизации. Давайте разберемся пошагово:

Шаг 1: Предположим, что у нас есть некоторая целочисленная пара (х; у), удовлетворяющая уравнению.

Шаг 2: Подставим эти значения в уравнение и упростим его:
\[x^2 - xy - 2y^2 = 7\]

Шаг 3: Перенесем все члены уравнения на одну сторону и получим:
\[x^2 - xy - 2y^2 - 7 = 0\]

Шаг 4: Теперь мы можем попробовать факторизовать это уравнение. В этом случае, факторизация не всегда работает, поэтому попробуем другой метод.

Шаг 5: Мы можем использовать метод дискриминанта для проверки, существуют ли целочисленные решения уравнения. Для этого рассмотрим уравнение вида \(Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0\), где \(A, B, C, D, E, F\) - некоторые константы.

Шаг 6: В основном, если дискриминант \(B^2 - 4AC\) является полным квадратом, то уравнение имеет целочисленные решения. В нашем случае, у нас есть \(A = 1\), \(B = -1\), \(C = -2\), \(D = 0\), \(E = 0\) и \(F = -7\).

Шаг 7: Рассчитаем дискриминант: \((-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9\). Мы видим, что дискриминант является полным квадратом, так как \(9 = 3^2\).

Шаг 8: Это означает, что уравнение имеет целочисленные решения. Следовательно, у нас есть целочисленные пары (х; у), которые удовлетворяют данному уравнению.

Шаг 9: Мы можем найти эти решения, рассмотрев уравнение как квадратное относительно \(x\). С помощью формулы для решения квадратных уравнений, мы можем найти значения \(x\) и далее вычислить соответствующие значения \(y\).

Шаг 10: Решим уравнение \(x^2 - x\text{у} - 2\text{у}^2 = 7\) относительно \(x\).
\[x = \frac{{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}}{{2A}} = \frac{{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-2)}}}{{2(1)}} = \frac{{1 \pm 3}}{{2}}\]

Шаг 11: Имеем два значения \(x = \frac{{1 + 3}}{{2}} = 2\) и \(x = \frac{{1 - 3}}{{2}} = -1\).

Шаг 12: Теперь подставим каждое значение \(x\) в исходное уравнение и решим его относительно \(y\).

Подстановка \(x = 2\):
\[2^2 - 2\text{у} - 2\text{у}^2 = 7\]
\[4 - 2\text{у} - 2\text{у}^2 = 7\]
\[2\text{у}^2 + 2\text{у} - 3 = 0\]

Подстановка \(x = -1\):
\[(-1)^2 - (-1)\text{у} - 2\text{у}^2 = 7\]
\[1 + \text{у} - 2\text{у}^2 = 7\]
\[-2\text{у}^2 + \text{у} - 6 = 0\]

Шаг 13: Теперь мы можем решить эти квадратные уравнения относительно \(y\).
\[2\text{у}^2 + 2\text{у} - 3 = 0\]
\[(2\text{у} - 1)(\text{у} + 3) = 0\]
\[2\text{у} - 1 = 0 \quad \text{или} \quad \text{у} + 3 = 0\]
\[\text{у} = \frac{1}{2} \quad \text{или} \quad \text{у} = -3\]

\[-2\text{у}^2 + \text{у} - 6 = 0\]
\[(-2\text{у} + 3)(\text{у} + 2) = 0\]
\[-2\text{у} + 3 = 0 \quad \text{или} \quad \text{у} + 2 = 0\]
\[\text{у} = \frac{3}{2} \quad \text{или} \quad \text{у} = -2\]

Шаг 14: Итак, у нас получаются следующие целочисленные пары (х; у), удовлетворяющие уравнению \(x^2 - xy - 2y^2 = 7\):
\((2, \frac{1}{2})\), \((2, -3)\), \((-1, \frac{3}{2})\), \((-1, -2)\)

Таким образом, четыре целочисленные пары (х; у) удовлетворяют данному уравнению.