Какие целочисленные пары (х; у) удовлетворяют уравнению х²-ху-2у²=7?

Kaplya

42

Чтобы найти целочисленные пары (х; у), удовлетворяющие уравнению $x^2-xy-2y^2=7$, мы можем использовать метод подстановки и факторизации. Давайте разберемся пошагово:

Шаг 1: Предположим, что у нас есть некоторая целочисленная пара (х; у), удовлетворяющая уравнению.

Шаг 2: Подставим эти значения в уравнение и упростим его:
$$x^2-xy-2y^2=7$$

Шаг 3: Перенесем все члены уравнения на одну сторону и получим:
$$x^2-xy-2y^2-7=0$$

Шаг 4: Теперь мы можем попробовать факторизовать это уравнение. В этом случае, факторизация не всегда работает, поэтому попробуем другой метод.

Шаг 5: Мы можем использовать метод дискриминанта для проверки, существуют ли целочисленные решения уравнения. Для этого рассмотрим уравнение вида $A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$, где $A,B,C,D,E,F$ - некоторые константы.

Шаг 6: В основном, если дискриминант $B^2-4AC$ является полным квадратом, то уравнение имеет целочисленные решения. В нашем случае, у нас есть $A=1$, $B=-1$, $C=-2$, $D=0$, $E=0$ и $F=-7$.

Шаг 7: Рассчитаем дискриминант: $(-1{)}^2-4(1)(-2)=1+8=9$. Мы видим, что дискриминант является полным квадратом, так как $9=3^2$.

Шаг 8: Это означает, что уравнение имеет целочисленные решения. Следовательно, у нас есть целочисленные пары (х; у), которые удовлетворяют данному уравнению.

Шаг 9: Мы можем найти эти решения, рассмотрев уравнение как квадратное относительно $x$. С помощью формулы для решения квадратных уравнений, мы можем найти значения $x$ и далее вычислить соответствующие значения $y$.

Шаг 10: Решим уравнение $x^2-x\text{у}-2{\text{у}}^2=7$ относительно $x$.
$$x=\frac{-B\pm \sqrt{B^2-4AC}}{2A}=\frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1{)}^2-4(1)(-2)}}{2(1)}=\frac{1\pm 3}{2}$$

Шаг 11: Имеем два значения $x=\frac{1+3}{2}=2$ и $x=\frac{1-3}{2}=-1$.

Шаг 12: Теперь подставим каждое значение $x$ в исходное уравнение и решим его относительно $y$.

Подстановка $x=2$:
$$2^2-2\text{у}-2{\text{у}}^2=7$$
$$4-2\text{у}-2{\text{у}}^2=7$$
$$2{\text{у}}^2+2\text{у}-3=0$$

Подстановка $x=-1$:
$$(-1{)}^2-(-1)\text{у}-2{\text{у}}^2=7$$
$$1+\text{у}-2{\text{у}}^2=7$$
$$-2{\text{у}}^2+\text{у}-6=0$$

Шаг 13: Теперь мы можем решить эти квадратные уравнения относительно $y$.
$$2{\text{у}}^2+2\text{у}-3=0$$
$$(2\text{у}-1)(\text{у}+3)=0$$
$$2\text{у}-1=0\text{или}\text{у}+3=0$$
$$\text{у}=\frac{1}{2}\text{или}\text{у}=-3$$

$$-2{\text{у}}^2+\text{у}-6=0$$
$$(-2\text{у}+3)(\text{у}+2)=0$$
$$-2\text{у}+3=0\text{или}\text{у}+2=0$$
$$\text{у}=\frac{3}{2}\text{или}\text{у}=-2$$

Шаг 14: Итак, у нас получаются следующие целочисленные пары (х; у), удовлетворяющие уравнению $x^2-xy-2y^2=7$:
$(2,\frac{1}{2})$, $(2,-3)$, $(-1,\frac{3}{2})$, $(-1,-2)$

Таким образом, четыре целочисленные пары (х; у) удовлетворяют данному уравнению.