Какие целочисленные пары (х; у) удовлетворяют уравнению х²-ху-2у²=7?

  • 29
Какие целочисленные пары (х; у) удовлетворяют уравнению х²-ху-2у²=7?
Kaplya
42
Чтобы найти целочисленные пары (х; у), удовлетворяющие уравнению x2xy2y2=7, мы можем использовать метод подстановки и факторизации. Давайте разберемся пошагово:

Шаг 1: Предположим, что у нас есть некоторая целочисленная пара (х; у), удовлетворяющая уравнению.

Шаг 2: Подставим эти значения в уравнение и упростим его:
x2xy2y2=7

Шаг 3: Перенесем все члены уравнения на одну сторону и получим:
x2xy2y27=0

Шаг 4: Теперь мы можем попробовать факторизовать это уравнение. В этом случае, факторизация не всегда работает, поэтому попробуем другой метод.

Шаг 5: Мы можем использовать метод дискриминанта для проверки, существуют ли целочисленные решения уравнения. Для этого рассмотрим уравнение вида Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0, где A,B,C,D,E,F - некоторые константы.

Шаг 6: В основном, если дискриминант B24AC является полным квадратом, то уравнение имеет целочисленные решения. В нашем случае, у нас есть A=1, B=1, C=2, D=0, E=0 и F=7.

Шаг 7: Рассчитаем дискриминант: (1)24(1)(2)=1+8=9. Мы видим, что дискриминант является полным квадратом, так как 9=32.

Шаг 8: Это означает, что уравнение имеет целочисленные решения. Следовательно, у нас есть целочисленные пары (х; у), которые удовлетворяют данному уравнению.

Шаг 9: Мы можем найти эти решения, рассмотрев уравнение как квадратное относительно x. С помощью формулы для решения квадратных уравнений, мы можем найти значения x и далее вычислить соответствующие значения y.

Шаг 10: Решим уравнение x2xу2у2=7 относительно x.
x=B±B24AC2A=(1)±(1)24(1)(2)2(1)=1±32

Шаг 11: Имеем два значения x=1+32=2 и x=132=1.

Шаг 12: Теперь подставим каждое значение x в исходное уравнение и решим его относительно y.

Подстановка x=2:
222у2у2=7
42у2у2=7
2у2+2у3=0

Подстановка x=1:
(1)2(1)у2у2=7
1+у2у2=7
2у2+у6=0

Шаг 13: Теперь мы можем решить эти квадратные уравнения относительно y.
2у2+2у3=0
(2у1)(у+3)=0
2у1=0илиу+3=0
у=12илиу=3

2у2+у6=0
(2у+3)(у+2)=0
2у+3=0илиу+2=0
у=32илиу=2

Шаг 14: Итак, у нас получаются следующие целочисленные пары (х; у), удовлетворяющие уравнению x2xy2y2=7:
(2,12), (2,3), (1,32), (1,2)

Таким образом, четыре целочисленные пары (х; у) удовлетворяют данному уравнению.