Какова площадь фигуры, которую ограничивают графики функций y=4cosx, y=0, x=0, x=3pi/2? При желании, вы можете

Daniil

21

Хорошо, давайте начнем с построения графика функции \(y = 4\cos x\) и остальных границ. График функции \(y = 4\cos x\) представляет собой кривую, которая колеблется вокруг оси \(x\), имея амплитуду 4 и период \(2\pi\).

Для начала построим график функции \(y = 4\cos x\) на интервале от \(x = 0\) до \(x = \frac{3\pi}{2}\). Мы знаем, что \(\cos x\) принимает значения от -1 до 1. Поэтому, чтобы получить значения функции \(y = 4\cos x\), мы просто умножим значения \(\cos x\) на 4.

Давайте построим таблицу значений:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y = 4\cos x \\
\hline
0 & 4\cos 0 = 4 \\
\frac{\pi}{4} & 4\cos \frac{\pi}{4} = 2.83 \\
\frac{\pi}{2} & 4\cos \frac{\pi}{2} = 0 \\
\frac{3\pi}{4} & 4\cos \frac{3\pi}{4} = -2.83 \\
\pi & 4\cos \pi = -4 \\
\frac{5\pi}{4} & 4\cos \frac{5\pi}{4} = -2.83 \\
\frac{3\pi}{2} & 4\cos \frac{3\pi}{2} = 0 \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь давайте построим график, используя эти точки:

\[
\begin{array}{l}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines=middle,
xmin=-0.5, xmax=2,
ymin=-4.5, ymax=4.5,
xtick={0, 1.57, 3.14},
xticklabels={$0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$},
ytick={-4,-2,0,2,4},
xlabel=$x$,
ylabel=$y$,
xlabel style={below right},
ylabel style={above left},
samples=100]

\addplot [domain=0:1.57, color=blue, thick] {4*cos(deg(x))};

\draw[dashed] (1.57,-4.5) -- (1.57,4.5);

\draw[dotted] (0,4) -- (1.57,4);
\draw[dotted] (1.57,0) -- (1.57,4);

\node[above] at (0.7,4) {$4$};
\node[right] at (1.57,2.83) {$2.83$};
\node[left] at (1.57,-2.83) {$-2.83$};
\node[below left] at (1.57,0) {$\frac{\pi}{2}$};

\fill[color=gray,opacity=0.2] (0,0) -- (0,4) -- (1.57,4) -- cycle;
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

Теперь на графике мы видим кривую \(y = 4\cos x\), которая ограничена осью \(x\) слева при \(x = 0\) (вертикальный отрезок слева) и осью \(x\) справа при \(x = \frac{3\pi}{2}\) (вертикальный отрезок справа).

Также нам задано условие \(y = 0\) и \(x = 0\). На графике это представлено горизонтальной прямой \(y = 0\) и вертикальной прямой \(x = 0\).

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими границами, нам нужно разделить ее на более простые фигуры. В данном случае, это треугольник и половина периода графика \(y = 4\cos x\).

Треугольник имеет основание \(x = \frac{3\pi}{2}\) и высоту \(y = 4\), поэтому его площадь будет:
\[S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3\pi}{2} \cdot 4 = 6\pi\]

Половина периода функции \(y = 4\cos x\) имеет форму половины волны и отсекается горизонтальной прямой \(y = 0\), поэтому ее площадь будет половиной площади полной волны:
\[S_{\text{половины периода}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3\pi}{2} \cdot 4 = 6\pi\]

Общая площадь фигуры, ограниченной графиками функций \(y = 4\cos x\), \(y = 0\), \(x = 0\) и \(x = \frac{3\pi}{2}\), составит сумму площадей треугольника и половины периода:
\[S_{\text{фигуры}} = S_{\text{треугольника}} + S_{\text{половины периода}} = 6\pi + 6\pi = 12\pi\]

Итак, площадь фигуры, ограниченной графиками функций \(y = 4\cos x\), \(y = 0\), \(x = 0\) и \(x = \frac{3\pi}{2}\), равна \(12\pi\).