Какова площадь фигуры, ограниченной графиками функций у=-х^2+4 , y=0 ,x=-2 ,x=2 после построения графика?

Iskander

14

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками указанных функций и прямых x = -2 и x = 2, мы можем провести несколько шагов.

1. Сначала построим график функции y = -x^2 + 4.
Для этого мы можем построить таблицу значений, выбрав несколько значений для x и вычислив соответствующие значения для y, а затем построить точки данных на координатной плоскости и проконвертировать их в график.

Вот таблица значений, которую мы можем использовать для построения графика:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-2 & 0 \\
-1 & 3 \\
0 & 4 \\
1 & 3 \\
2 & 0 \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь построим эти точки на координатной плоскости и соединим их прямыми линиями, чтобы получить график функции y = -x^2 + 4.

(Вставить рисунок графика с использованием заданных точек)

2. Из графика видно, что искомая фигура ограничена графиком функции y = -x^2 + 4, осью x и вертикальными прямыми x = -2 и x = 2. Эта фигура представляет собой параболу, расположенную между x = -2 и x = 2, и прямоугольник с основанием длиной 4 (от x = -2 до x = 2) и высотой 4 (от y = 0 до y = 4).

3. Чтобы найти площадь этой фигуры, нужно найти площадь параболы и площадь прямоугольника, а затем сложить их.

Площадь параболы может быть найдена с помощью определенного интеграла. В данном случае получится:

\[
S_{\text{параболы}} = \int_{-2}^{2} (-x^2 + 4) dx
\]

Решение этого определенного интеграла даст нам площадь параболы, ограниченной указанными графиками. Вычислим его:

\[
S_{\text{параболы}} = \left[ -\frac{x^3}{3} + 4x \right]_{-2}^{2}
\]

Подставив значения верхнего и нижнего пределов, получаем:

\[
S_{\text{параболы}} = \left( -\frac{2^3}{3} + 4 \cdot 2 \right) - \left( -\frac{(-2)^3}{3} + 4 \cdot (-2) \right)
\]

\[
S_{\text{параболы}} = \left( -\frac{8}{3} + 8 \right) - \left( -\frac{-8}{3} - 8 \right)
\]

\[
S_{\text{параболы}} = \frac{48}{3}
\]

\[
S_{\text{параболы}} = 16
\]

Таким образом, площадь параболы, ограниченной указанными графиками, равна 16.

Площадь прямоугольника равна произведению его основания и высоты:

\[
S_{\text{прямоугольника}} = 4 \cdot 4 = 16
\]

Таким образом, площадь прямоугольника также равна 16.

4. Чтобы найти общую площадь фигуры, нужно сложить площади параболы и прямоугольника:

\[
S_{\text{фигуры}} = S_{\text{параболы}} + S_{\text{прямоугольника}} = 16 + 16 = 32
\]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = -x^2 + 4, y = 0, x = -2 и x = 2, равна 32 квадратным единицам.