Какова площадь фигуры в плоскости, ограниченной линиями y = x²; x

Раиса

20

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями \(y = x^2\) и \(x = 0\), нам необходимо использовать метод интегрирования. Давайте разобъем эту задачу на несколько шагов.

Шаг 1: Найти точки пересечения двух функций
Для начала, найдем точки пересечения между функциями \(y = x^2\) и \(x = 0\). Подставив \(x = 0\) в уравнение \(y = x^2\), получим \(y = 0^2 = 0\). Таким образом, точка пересечения равна (0, 0).

Шаг 2: Нарисовать график функций
Построим графики функций \(y = x^2\) и \(x = 0\) на плоскости и укажем точку пересечения (0, 0).

\[
\begin{array}{c|c}
x & y \\
\hline
-2 & 4 \\
-1 & 1 \\
0 & 0 \\
1 & 1 \\
2 & 4 \\
\end{array}
\]

Шаг 3: Определить границы интегрирования
Для нахождения площади фигуры, мы будем интегрировать функцию \(y = x^2\) от \(x = 0\) до \(x = 1\) (т.к. функция \(y = x^2\) находится ниже функции \(x = 0\) в интервале от 0 до 1). Границы интегрирования - это точки пересечения функций.

Шаг 4: Записать интеграл для нахождения площади
Интеграл для нахождения площади фигуры будет записан следующим образом:

\[
\text{Площадь} = \int_{0}^{1} (x^2) dx
\]

Шаг 5: Вычислить интеграл
Вычислим данный интеграл, чтобы найти площадь фигуры. Возьмем первообразную функции \(x^2\), которая равна \(\frac{1}{3}x^3\). Применяя фундаментальную теорему исчисления, получаем:

\[
\text{Площадь} = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}(1)^3 - \frac{1}{3}(0)^3 = \frac{1}{3}
\]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями \(y = x^2\) и \(x = 0\), составляет \(\frac{1}{3}\) квадратных единиц.