Какова вероятность, что на странице книги, состоящей из 100 страниц, будет не более двух опечаток, при условии

Мирослав

54

Конечно! Ответы на ваши вопросы:

1. Для нахождения вероятности с помощью точной биномиальной формулы нам необходимо знать вероятность появления опечатки на одной странице и количество страниц в книге.

Вероятность ошибки на одной странице равна 0,03. Количество страниц в книге равно 100.

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу биномиального распределения. Формула записывается следующим образом:

\[P(X=k) = C(n,k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

где:
- \(P(X=k)\) - вероятность того, что произойдет \(k\) ошибок,
- \(C(n,k)\) - биномиальный коэффициент, равный количеству способов выбрать \(k\) ошибок из \(n\) страниц,
- \(p\) - вероятность появления опечатки на одной странице (0,03 в нашем случае),
- \(n\) - общее количество страниц в книге (100 в нашем случае).

Для данной задачи нам интересны две вероятности: \(P(X=0)\) и \(P(X=1)\). Мы хотим найти вероятность того, что будет не более двух опечаток, поэтому нам нужно найти вероятности, что на странице будет 0 или 1 опечатка.

\[\begin{align*}
P(X=0) &= C(100,0) \cdot 0.03^0 \cdot (1-0.03)^{100-0}\\
P(X=1) &= C(100,1) \cdot 0.03^1 \cdot (1-0.03)^{100-1}
\end{align*}\]

Подставив значения и рассчитав, мы получим:

\[\begin{align*}
P(X=0) &\approx 0.7408\\
P(X=1) &\approx 0.2556
\end{align*}\]

Таким образом, вероятность того, что на странице будет не более двух опечаток, составляет примерно 0.7408 + 0.2556 = 0.9964.

2. Теперь рассмотрим вероятность по приближенной формуле Пуассона. Формула Пуассона применяется в ситуациях, когда количество испытаний большое, а вероятность события очень маленькая. Вероятность появления опечатки маленькая (0,03 в нашем случае), а количество страниц велико (100), поэтому мы можем использовать формулу Пуассона для приближенного значения.

Формула Пуассона выглядит следующим образом:

\[P(X=k) \approx \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^k}{k!}\]

где:
- \(P(X=k)\) - вероятность того, что произойдет \(k\) ошибок,
- \(\lambda\) - математическое ожидание (среднее значение), равное произведению количества страниц \(n\) на вероятность ошибки \(p\).

Подставив значения и рассчитав, мы получим:

\[\begin{align*}
P(X=0) &\approx 0.7408\\
P(X=1) &\approx 0.2554
\end{align*}\]

Очевидно, что приближенные значения по формуле Пуассона довольно близки к точным значениям по биномиальной формуле.

Таким образом, вероятность того, что на странице будет не более двух опечаток, составляет примерно 0.7408 + 0.2554 = 0.9962.

Стоит отметить, что при использовании формулы Пуассона мы получили результат с небольшой погрешностью из-за приближенного значения. Однако, в данной задаче разница между точным и приближенным результатами очень мала, что говорит о хорошем приближении.

Если у вас остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!