Какова площадь фигуры, выделенной на рисунке, при условии, что вс = 4 и угол ВАС равен 30 градусам? О-центр окружности

Луна_В_Омуте

2

Чтобы найти площадь фигуры, выделенной на рисунке, мы должны разделить ее на две части и найти площади этих частей отдельно, а затем сложить их вместе.

Первая часть фигуры - это сектор окружности ОАС. У нас есть угол ВАС, который равен 30 градусам и радиус окружности (OA), который мы не знаем. Для нахождения площади сектора нужно воспользоваться формулой:

\[S_{\text{сектора}} = \frac{{\text{угол} \times \pi \times \text{радиус}^2}}{360}\]

Так как у нас задан угол в градусах, а формула требует его в радианах, нужно перевести его. 1 градус равен \(\frac{\pi}{180}\) радиан, поэтому угол ВАС в радианах будет:

\[30 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{6} \text{радиан}\]

Теперь, чтобы найти радиус окружности (OA), мы можем использовать теорему синусов для треугольника ОАС. У нас известны гипотенуза ОС (4) и угол ВАС (\(\frac{\pi}{6}\)):

\[\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{OA}{4}\]

Найдем синус угла \(\frac{\pi}{6}\). Вспомним, что синус угла - это отношение противолежащего катета к гипотенузе. В нашем случае противолежащий катет - это радиус (OA), а гипотенуза - это сторона ОС:

\[\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{OA}{4} \Rightarrow OA = 4 \times \sin(\frac{\pi}{6})\]

После подстановки значения синуса угла \(\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\), получаем:

\(OA = 4 \times \frac{1}{2} = 2\)

Таким образом, радиус окружности равен 2.

Теперь мы можем найти площадь сектора, используя формулу:

\[S_{\text{сектора}} = \frac{{\frac{\pi}{6} \times \pi \times 2^2}}{360} = \frac{{4\pi}}{3 \times 360} = \frac{{\pi}}{270}\]

Вторая часть фигуры - это равнобедренный треугольник ОАВ. Мы знаем сторону ОА, которая равна 2, и угол ВАС, который равен 30 градусам. Чтобы найти площадь равнобедренного треугольника, мы применим следующую формулу:

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{{\text{основание} \times \text{высота}}}{2}\]

У нас угол ВАС является вершинным углом треугольника ОАВ, поэтому высота (высота, опущенная из вершины) будет совпадать с радиусом окружности OA:

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{{2 \times 2}}{2} = 2\]

Теперь мы можем сложить площади сектора и треугольника, чтобы найти общую площадь фигуры:

\[S_{\text{фигуры}} = \frac{{\pi}}{270} + 2\]

Итак, общая площадь фигуры равна \(\frac{{\pi}}{270} + 2\) или, приближенно, \(2.01 + \frac{{1.17}}{{1000}}\)