Яка площа трапеції, якщо діагональ є бісектрисою її гострого кута і розділяє середню лінію на відрізки 13 см і

Solnechnyy_Podryvnik

47

Спасибо за ваш вопрос! Для решения этой задачи, давайте сначала разберемся с определением трапеции. Трапеция - это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие - нет.

Дано, что диагональ является биссектрисой острого угла трапеции и делит среднюю линию на два отрезка длиной 13 см и \(x\) см.

\[
\begin{align*}
\text{Пусть } AB & \text{ и } CD \text{ - параллельные стороны трапеции}, \\
AC & \text{ - основание трапеции,} \\
BD & \text{ - диагональ трапеции.}
\end{align*}
\]

Так как диагональ является биссектрисой острого угла, она делит боковые стороны трапеции пополам. Обозначим точку пересечения диагонали и средней линии через точку \(E\).

\[
\begin{align*}
BE = DE & = \frac{1}{2}CD = \frac{13}{2} \text{ см}, \\
AE = EC & = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}x \text{ см}.
\end{align*}
\]

Также из условия задачи известно, что отрезки \(AE\) и \(EC\) равны по длине, поэтому:

\[
\frac{1}{2}x = 13 \Rightarrow x = 26 \text{ см}.
\]

Теперь, чтобы найти площадь трапеции, нам нужно знать ее высоту. В данной задаче, высота трапеции представлена отрезком \(BD\).

Мы можем найти высоту, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике \(BDE\):

\[
BD^2 = BE^2 + DE^2
\]

\[
BD^2 = \left(\frac{13}{2}\right)^2 + \left(\frac{26}{2}\right)^2
\]

\[
BD^2 = \frac{169}{4} + \frac{676}{4}
\]

\[
BD^2 = \frac{845}{4}
\]

\[
BD = \sqrt{\frac{845}{4}} = \frac{\sqrt{845}}{2}
\]

Таким образом, площадь трапеции вычисляется с помощью формулы:

\[
S = \frac{1}{2}(AB + CD) \cdot BD
\]

\[
S = \frac{1}{2}(x + 13) \cdot \frac{\sqrt{845}}{2}
\]

Подставим значение \(x = 26\):

\[
S = \frac{1}{2}(26 + 13) \cdot \frac{\sqrt{845}}{2}
\]

\[
S = \frac{1}{2} \cdot 39 \cdot \frac{\sqrt{845}}{2}
\]

\[
S = 19.5 \cdot \frac{\sqrt{845}}{2}
\]