Какова площадь фигуры, заключенной между графиками y=x^2 и y=x!?

Luna_V_Omute

47

Для определения площади фигуры, заключенной между графиками функций \(y = x^2\) и \(y = x\), необходимо найти точки их пересечения и вычислить определенный интеграл для заданного интервала.

Сначала найдем точки пересечения этих двух функций. Для этого приравняем их и решим уравнение:

\[x^2 = x\]

Перенесем все в одну сторону и получим квадратное уравнение:

\[x^2 - x = 0\]

Факторизуя это уравнение, получим:

\[x(x-1) = 0\]

Таким образом, получаем две точки пересечения: \(x = 0\) и \(x = 1\).

Теперь мы можем найти площадь фигуры, используя интеграл. Нас интересует область между графиками функций, поэтому мы будем интегрировать разность функций \((y = x^2 - y = x)\) на заданном интервале \([0, 1]\):

\[S = \int_{0}^{1} (x^2 - x)dx\]

Вычислим этот интеграл:

\[S = \left[\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 \right]_0^1\]

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

\[S = \left[\left(\frac{1}{3}(1)^3 - \frac{1}{2}(1)^2 \right) - \left(\frac{1}{3}(0)^3 - \frac{1}{2}(0)^2 \right)\right]\]

\[S = \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{6}\]

Таким образом, площадь фигуры, заключенной между графиками функций \(y = x^2\) и \(y = x\), равна \(\frac{1}{6}\) квадратных единиц.