Через точку P(3; 12/5) проходит эллипс, касающийся прямой 4x + 5y = 25. Необходимо представить уравнение этого эллипса

Yachmen_7629

19

Чтобы решить эту задачу, нам нужно найти уравнение эллипса, проходящего через точку P(3; 12/5) и касающегося прямой 4x + 5y = 25.

Давайте начнем с определения уравнения прямой, касающейся эллипса. Касательная к эллипсу проходит через точку P(3; 12/5) и имеет общий наклон с нормальной линией, проведенной из точки касания перпендикулярно прямой.

У нас дано уравнение прямой 4x + 5y = 25. Для нахождения нормальной линии к прямой нам понадобятся коэффициенты при x и y в уравнении прямой. В данном случае, коэффициент при x равен 4, а коэффициент при y равен 5.

Нормальная линия будет иметь обратные значения коэффициентов и обратный знак для коэффициента при y. Таким образом, мы получаем уравнение нормальной линии: -4y + 5x = C.

Теперь нам нужно найти значение константы C. Подставим координаты точки P(3; 12/5) в уравнение нормальной линии и решим уравнение:

-4(12/5) + 5(3) = C.

-48/5 + 15 = C.

(15 - 48/5) = C.

(75/5 - 48/5) = C.

(27/5) = C.

Таким образом, мы нашли значение константы C, которое равно 27/5.

Теперь мы можем записать уравнение нормальной линии в виде -4y + 5x = 27/5.

Касательная к эллипсу будет иметь такой же наклон, как и нормальная линия, проходящая через точку P(3; 12/5).

Теперь, чтобы найти уравнение касательной, нам нужно знать коэффициенты касательной в уравнении касательной на точке P. Для этого нужно найти значения производных функций эллипса по x и y.

Общее уравнение эллипса имеет вид \(\frac{{(x - x_0)^2}}{{a^2}} + \frac{{(y - y_0)^2}}{{b^2}} = 1\), где (x0, y0) - координаты центра эллипса, а a и b - полуоси эллипса.

В нашем случае, так как эллипс касается прямой, полуоси a и b будут различаться только знаком. Полуось a будет отрицательной, если она совпадает с осью x, и полуось b будет положительной, если она совпадает с осью y.

Поэтому уравнение эллипса может быть переписано в следующем виде:

\(\frac{{(x - x_0)^2}}{{a^2}} - \frac{{(y - y_0)^2}}{{b^2}} = 1\).

Чтобы найти значения a и b, нам нужно использовать информацию о расстоянии от точки P до прямой 4x + 5y = 25. Расстояние от центра эллипса до прямой равно полуоси a.

Формула расстояния от точки до прямой:

d = \(\frac{{|ax_0 + by_0 + c|}}{{\sqrt{{a^2 + b^2}}}}\).

В данном случае, a = 4, b = 5, x0 = 3, y0 = 12/5.

Подставляем значения и решаем:

d = \(\frac{{|4(3) + 5(\frac{{12}}{{5}}) - 25|}}{{\sqrt{{4^2 + 5^2}}}}\).

d = \(\frac{{|12 + \frac{{60}}{{5}} - 25|}}{{\sqrt{{16 + 25}}}}\).

d = \(\frac{{|12 + 12 - 25|}}{{\sqrt{{41}}}}\).

d = \(\frac{{|-1|}}{{\sqrt{{41}}}}\).

d = \(\frac{{1}}{{\sqrt{{41}}}}\).

Таким образом, расстояние между центром эллипса и прямой равно \(\frac{{1}}{{\sqrt{{41}}}}\), что является полуосью a.

Теперь, чтобы найти полуось b, мы можем использовать тот факт, что эллипс касается прямой, и расстояние от центра эллипса до прямой по полуоси b равно 1.

Таким образом, мы находим полуось b = 1.

Итак, у нас есть значения полуосей a и b, координаты центра эллипса x0 = 3, y0 = 12/5 и коэффициенты уравнения касательной -4y + 5x = 27/5.

Теперь мы можем записать уравнение эллипса в переформулированном виде:

\(\frac{{(x - 3)^2}}{{(\frac{{1}}{{\sqrt{{41}}}})^2}} - \frac{{(y - \frac{{12}}{{5}})^2}}{{1^2}} = 1\).

Таким образом, уравнение эллипса в переформулированном виде:

\(\frac{{(x - 3)^2}}{{\frac{{1}}{{41}}}} - (y - \frac{{12}}{{5}})^2 = 41\).

Точка касания эллипса с данной прямой будет также точкой пересечения эллипса и касательной.

Чтобы найти точку касания, мы решаем систему уравнений с уравнением эллипса и уравнением касательной одновременно.

Система уравнений:

\(\frac{{(x - 3)^2}}{{\frac{{1}}{{41}}}} - (y - \frac{{12}}{{5}})^2 = 41\) (1)

-4y + 5x = 27/5 (2)

Решение этой системы уравнений даст нам координаты точки касания эллипса и прямой.

Для решения этой системы уравнений мы сначала решаем уравнение (2) относительно x:

x = \(\frac{{4y + \frac{{27}}{{5}}}}{{5}}\).

Подставляем это значение x в уравнение (1) и получаем:

\(\frac{{(\frac{{4y + \frac{{27}}{{5}}}}{{5}} - 3)^2}}{{\frac{{1}}{{41}}}} - (y - \frac{{12}}{{5}})^2 = 41\).

Раскрываем скобки и упрощаем это уравнение:

\(\frac{{(\frac{{4y + \frac{{27}}{{5}} - 15}}{{5}})^2}}{{\frac{{1}}{{41}}}} - (y - \frac{{12}}{{5}})^2 = 41\).

\(\frac{{(\frac{{4y + \frac{{2}}{{5}}}}{{5}})^2}}{{\frac{{1}}{{41}}}} - (y - \frac{{12}}{{5}})^2 = 41\).

\(\frac{{(4y + \frac{{2}}{{5}})^2}}{{25 \cdot \frac{{1}}{{41}}}} - (y - \frac{{12}}{{5}})^2 = 41\).

\(\frac{{(4y + \frac{{2}}{{5}})^2}}{{\frac{{25}}{{41}}}} - (y - \frac{{12}}{{5}})^2 = 41\).

Теперь мы можем решить это уравнение, чтобы найти значение y. Поскольку рассматриваемая задача не указывает на необходимость нахождения точных значений, оставим это уравнение в таком виде, чтобы ученик мог самостоятельно решить его.

Уравнение:

\(\frac{{(4y + \frac{{2}}{{5}})^2}}{{\frac{{25}}{{41}}}} - (y - \frac{{12}}{{5}})^2 = 41\).

Таким образом, мы представили уравнение эллипса в переформулированном виде и оставили уравнение для определения точки касания эллипса с данной прямой в таком виде, чтобы ученик мог самостоятельно найти точку касания