Какова площадь круга, если длина хорды составляет 10 дм, а вписанный угол, опирающийся на эту хорду, равен 30°?

Хрусталь

42

Хорда, которая разделяет круг на две части, называется хорда справедливо, что если мы проведем две хорды в одном круге и понялись хорды в одной точке, то наша хорда образует определенный угол между собой и сегментом круга, ограниченным этим углом, называется вписанным (смежным) углом этой хорды.

Для того чтобы решить эту задачу, мы можем использовать свойство, известное как угол вписанный в дугу. Согласно этому свойству, угол вписанный в дугу равен половине центрального угла, который опирается на эту дугу.

Рассмотрим ситуацию на рисунке ниже:

\[
\begin{array}{c}
\\
\begin{array}{cc}
\centering
O & \\
\downarrow & \\
A-B-C \\
\end{array}
\end{array}
\]

Дано: Длина хорды \(AB\) равна 10 дм и угол \(ACB\) равен 30°.

Мы можем заметить, что вписанный угол \(ACB\) и центральный угол, который опирается на дугу \(AB\), образуют треугольник \(AOB\). Поскольку вписанный угол равен половине центрального угла, то мы можем утверждать, что угол \(AOB\) равен 60°.

Для того чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу для вычисления длины хорды в зависимости от радиуса и центрального угла:

\[AB = 2 \times r \times \sin(\frac{\theta}{2})\]

Где \(r\) - радиус круга, \(\theta\) - центральный угол, а \(AB\) - длина хорды.

Мы знаем длину хорды \(AB\) (10 дм) и центральный угол \(AOB\) (60°).

Мы можем переписать формулу в виде:

\[AB = 2 \times r \times \sin(30°)\]

Теперь мы можем решить эту формулу относительно радиуса, подставив известные значения:

\[10 = 2 \times r \times \sin(30°)\]

Чтобы упростить вычисления, давайте рассчитаем значения функции \(\sin(30°)\):

\(\sin(30°) = \frac{1}{2}\)

Теперь мы можем продолжить с вычислениями:

\[10 = 2 \times r \times \frac{1}{2}\]

Упрощая, мы получим:

\[10 = r\]

Таким образом, радиус круга равен 10 дм.

Теперь, чтобы найти площадь круга, мы можем использовать формулу:

\[S = \pi \times r^2\]

Подставив значение радиуса (10 дм) в формулу, получим:

\[S = \pi \times 10^2\]

Раскрывая квадрат:

\[S = \pi \times 100\]

Таким образом, площадь круга равна \(100\pi\) квадратных дециметров (дм²).

Ответ: Площадь круга равна \(100\pi\) квадратных дециметров (дм²).