Какова площадь круга, если площадь квадрата, ограничивающего его вписанную окружность, составляет 72 дм²?

Гроза

13

Для решения этой задачи, нам понадобится знание формулы площади круга и площади квадрата. Начнем с того, что у нас есть квадрат, внутри которого описана окружность. Площадь этого квадрата равна 72 дм².

Будем обозначать сторону квадрата через \(a\), а радиус окружности через \(r\). Мы знаем, что диаметр окружности равен стороне квадрата, поэтому диаметр также равен \(a\).

Так как окружность описана внутри квадрата, диаметр окружности будет равен стороне квадрата:

\[a = 2r\]

Мы также знаем, что площадь круга выражается формулой:

\[S_{\text{круга}} = \pi r^2\]

Подставим значение диаметра в формулу площади круга:

\[S_{\text{круга}} = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2\]

Мы знаем, что площадь квадрата равна 72 дм². Подставим это значение в формулу:

\[72 = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2\]

Чтобы найти площадь круга, нам нужно найти значение \(r\). Для этого, нам сначала нужно найти значение \(a\).

Решим уравнение для \(a\):

\[72 = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2\]

Выразим \(a\) из уравнения:

\[a^2 = \frac{72}{\pi} \times 4\]

\[a = 2\sqrt{\frac{72}{\pi}}\]

Теперь, зная значение \(a\), мы можем найти значение радиуса \(r\):

\[r = \frac{a}{2} = \sqrt{\frac{72}{\pi}}\]

И, наконец, найдем площадь круга, подставив значение радиуса в формулу площади круга:

\[S_{\text{круга}} = \pi \left(\sqrt{\frac{72}{\pi}}\right)^2 = \pi \frac{72}{\pi} = 72\]

Таким образом, площадь круга составляет 72 дм².