Какова площадь круга, если площадь квадрата, ограничивающего его вписанную окружность, составляет 72 дм²?

Гроза

13

Для решения этой задачи, нам понадобится знание формулы площади круга и площади квадрата. Начнем с того, что у нас есть квадрат, внутри которого описана окружность. Площадь этого квадрата равна 72 дм².

Будем обозначать сторону квадрата через $a$, а радиус окружности через $r$. Мы знаем, что диаметр окружности равен стороне квадрата, поэтому диаметр также равен $a$.

Так как окружность описана внутри квадрата, диаметр окружности будет равен стороне квадрата:

$$a=2r$$

Мы также знаем, что площадь круга выражается формулой:

$$S_{\text{круга}}=\pi r^2$$

Подставим значение диаметра в формулу площади круга:

$$S_{\text{круга}}=\pi {\left(\frac{a}{2}\right)}^2$$

Мы знаем, что площадь квадрата равна 72 дм². Подставим это значение в формулу:

$$72=\pi {\left(\frac{a}{2}\right)}^2$$

Чтобы найти площадь круга, нам нужно найти значение $r$. Для этого, нам сначала нужно найти значение $a$.

Решим уравнение для $a$:

$$72=\pi {\left(\frac{a}{2}\right)}^2$$

Выразим $a$ из уравнения:

$$a^2=\frac{72}{\pi }\times 4$$

$$a=2\sqrt{\frac{72}{\pi }}$$

Теперь, зная значение $a$, мы можем найти значение радиуса $r$:

$$r=\frac{a}{2}=\sqrt{\frac{72}{\pi }}$$

И, наконец, найдем площадь круга, подставив значение радиуса в формулу площади круга:

$$S_{\text{круга}}=\pi {\left(\sqrt{\frac{72}{\pi }}\right)}^2=\pi \frac{72}{\pi }=72$$

Таким образом, площадь круга составляет 72 дм².