Какова площадь круга, вокруг прямоугольного треугольника ABC, где длина катета AC составляет 12, а синус угла B равен

Zhuchka

37

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Найдем неизвестные стороны треугольника ABC.
У нас есть значение длины катета AC, которое составляет 12, и значение синуса угла B равное 0,6. Для начала найдем величину угла B.

Мы знаем, что синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Поскольку в нашем случае катет противолежит углу B, мы можем записать:

\(\sin B = \frac{{BC}}{{AC}}\)

Подставим известные значения:

0,6 = \(\frac{{BC}}{{12}}\)

Теперь решим это уравнение относительно BC:
BC = 0,6 * 12
BC = 7.2

Таким образом, длина стороны BC равна 7,2.

Шаг 2: Найдем длину гипотенузы треугольника ABC.
Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти гипотенузу треугольника ABC. Теорема Пифагора утверждает, что квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

В нашем случае, длина одного катета (AC) равна 12, а длина другого катета (BC) равна 7.2. Мы можем записать это следующим образом:

\(AC^2 + BC^2 = AB^2\)

Подставим значения:

\(12^2 + 7.2^2 = AB^2\)

Решим это уравнение:
\(144 + 51.84 = AB^2\)
\(195.84 = AB^2\)

Взяв квадратный корень обеих сторон, мы получим:

AB = \(\sqrt{195.84}\)
AB ≈ 13.99

Таким образом, длина гипотенузы AB составляет приблизительно 13,99.

Шаг 3: Найдем площадь круга, вокруг треугольника ABC.
Окружность, описанная вокруг треугольника, имеет радиус, равный половине гипотенузы. Таким образом, радиус R будет равен половине 13,99.

R = \(\frac{AB}{2}\)
R ≈ \(\frac{13.99}{2}\)
R ≈ 6.995

Теперь мы можем найти площадь круга, используя формулу:

Площадь круга = \(\pi \cdot R^2\)
Площадь круга ≈ 3.14159 \(\cdot 6.995^2\)
Площадь круга ≈ 153.93809 квадратных единицы

Таким образом, площадь круга, вокруг прямоугольного треугольника ABC, составляет приблизительно 153.93809 квадратных единицы.